Εφαπτόμενοι κύκλοι

[simantiris j.]

Έστω τρίγωνο με και έστω ότι ο εγγεγραμμένος σε αυτό κύκλος εφάπτεται των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα.Η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας τέμνει τις στα αντίστοιχα.Έστω διαφορετικά σημεία πάνω στη τέτοια ώστε .Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .

[vittasko]

Με διάμετρο το τμήμα γράφουμε τον κύκλο έστω , ο οποίος τέμνει την πλευρά του δοσμένου τριγώνου στα σημεία της εκφώνησης, γιατί ισχύει .

Αποδεικνύεται εύκολα και είναι γνωστό αποτέλεσμα που έχουμε ξαναδεί στο , ότι και .

Άρα, οι είναι εφαπτόμενες του κύκλου και επομένως έχουμε και

Από

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε

Από

Εφαπτόμενοι κύκλοι.

f=112_t=54791.PNG (38.42 KiB) Προβλήθηκε 4427 φορές

Από προκύπτει ότι οι ευθείες είναι ισογώνιες ως προς την γωνία και άρα, σύμφωνα με το Λήμμα που έχει αποδειχθεί Εδώ , συμπεραίνεται ότι ο περίκυκλος έστω του τριγώνου εφάπτεται στον περίκυκλο του κατά το σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Για όσους ενδιαφέρονται :

Να αποδειχθεί ότι ο ως άνω κύκλος περνάει από το κέντρο του κύκλου με διάμετρο το τμήμα και εφάπτεται επίσης του εγγεγραμμένου κύκλου του .

Η απόδειξη ότι δεν είναι δύσκολη. Η απόδειξη ότι οι κύκλοι εφάπτονται, δεν είναι εύκολη.

[simantiris j.]

γεωμετρία 1.png (26.73 KiB) Προβλήθηκε 4356 φορές

Πολύ ωραία λύση κύριε Κώστα! Μια άλλη λύση.
Εύκολα προκύπτουν τα εγγράψιμα άρα
Έστω το σημείο τομής της με τη .Τότε (η τελευταία προκύπτει από τα προφανώς όμοια τρίγωνα ).
Άρα τα είναι τα αρμονικά συζυγή των και επειδή οι θα είναι οι εσωτερική,εξωτερική διχοτόμοι της γωνίας .
Ομοίως παίρνουμε ότι η είναι διχοτόμος της .Άρα το είναι το έγκεντρο του τριγώνου .Οπότε η διχοτόμος της .Άρα .
Οπότε χρησιμοποιώντας το λήμμα που αναφέρθηκε πιο πριν παίρνουμε το ζητούμενο.
Επιπλέον για το αν θεωρήσουμε το ως το σημείο τομής του Κ με την τότε θα είναι το μέσο του μικρού τόξου και επειδή είναι το έγκεντρο του τριγώνου , θα ισχύει ως γνωστόν άρα το είναι το περίκεντρο του (εγγράψιμου) τετραπλεύρου .
Για το δεύτερο ζητούμενο δυστυχώς δεν έχω λύση ,θα το κοιτάξω.

[silouan]

Να αποδειχθεί ότι ο ως άνω κύκλος περνάει από το κέντρο του κύκλου με διάμετρο το τμήμα και εφάπτεται επίσης του εγγεγραμμένου κύκλου του .

Η απόδειξη ότι δεν είναι δύσκολη. Η απόδειξη ότι οι κύκλοι εφάπτονται, δεν είναι εύκολη.

Προκύπτει άμεσα από το λήμμα 1 εδώ: http://www.cut-the-knot.org/triangle/Sa ... eBault.pdf

Εναλλακτικά υπάρχει μία πολύ σύντομη λύση με αντιστροφή

[vittasko]

Να αποδειχθεί ότι ο ως άνω κύκλος , εφάπτεται επίσης του εγγεγραμμένου κύκλου του .

Έστω , τα σημεία τομής του κύκλου από την και ας είναι το στο εσωτερικό μέρος του κύκλου .

Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και επειδή περνάει από το σημείο , έχουμε ότι η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον περνάει από το σημείο και είναι κάθετη επί την = την ευθεία που συνδέει το σημείο με το κέντρο του κύκλου .

Η ευθεία δηλαδή, ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και απομένως, η σημειοσειρά είναι αρμονική.

Σύμφωνα με το θεώρημα Newton τώρα, ισχύει

Έστω το σημείο και έχουμε

Έστω το σημείο και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , έχουμε

Από και και άρα, το είναι κοινό σημείο των κύκλων .

Εφαπτόμενοι κύκλοι - Απόδειξη του (β) πρόσθετου ζητούμενου.

f=112_t=54971(a).PNG (38.46 KiB) Προβλήθηκε 4219 φορές

Έστω το σημείο και από και

Ο κύκλος έστω τώρα, με κέντρο το και ακτίνα εφάπτεται του κύκλου κατά το σημείο και της κατά το σημείο .

Συμπεραίνεται έτσι ότι γιατί το κέντρο του ταυτίζεται με το σημείο τομής της δια το σημείου κάθετης ευθείας επί την , από την μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος το οποίο ταυτίζεται προφανώς, με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του .

Άρα, οι κύκλοι εφάπτονται κατά το σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Δίνονται δύο κύκλοι τεμνόμενοι στα σημεία και έστω ότι το κέντρο του κύκλου ανήκει στον κύκλο . Δια του σημείου φέρνουμε τυχούσα ευθεία τέμνουσα την στο σημείο έστω και τον κύκλο στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι .

Κώατας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα .

[vittasko]

ΛΗΜΜΑ. - Δίνονται δύο κύκλοι τεμνόμενοι στα σημεία και έστω ότι το κέντρο του κύκλου ανήκει στον κύκλο . Δια του σημείου φέρνουμε τυχούσα ευθεία τέμνουσα την στο σημείο έστω και τον κύκλο στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι .

Εφαπτόμενοι κύκλοι - Απόδειξη του Λήμματος.

f=112_t=54791(b).PNG (22.38 KiB) Προβλήθηκε 4209 φορές

Έστω τα σημεία και .

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε

Από το ορθογώνιο τρίγωνο με έχουμε

Από και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[STOPJOHN]

Kαλημέρα ,μια άλλη απόδειξη στο Λήμμα του Κώστα
Από τις ισότητες των γωνιών

τα τρίγωνα είναι όμοια συνεπώς :


Γιάννης

[rtsiamis]

Ας δούμε μια ακόμη ιδιότητα στο όμορφο πρόβλημα του Γιάννη.
Με τα γράμματα στο σχήμα του κύριου Βήττα: Η διέρχεται από το σημείο επαφής του περιγεγραμμένου του με το μικτοεγγεγραμμένο κύκλο, που ανιστοιχεί στην κορυφή .
Μάλλον ούτε αυτό είναι εύκολο

[simantiris j.]

Γεια σου Ραφαήλ! Καλή επιτυχία σε σένα και στα υπόλοιπα παιδιά της ομάδας στη ΔΜΟ!
Άλλη μια ιδιότητα: Αν το συμμετρικό του ως προς το μέσο της και το σημείο τομής της με την τότε και ο περίκυκλος του εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του .

[simantiris j.]

Επαναφορά για τις δυο τελευταίες ιδιότητες,που φαίνονται πολύ ενδιαφέρουσες!

[rtsiamis]

Μάλλον ξεχάστηκε- παραθέτω μία απόδειξη για τις δύο τελευταίες ιδιότητες.

Αρχικά, έστω το σημείο επαφής του μικτοεγγεγραμμένου κύκλου με τον (χρησιμοποιώ το σχήμα του κύριου Βήττα).
Για την πρώτη ιδιότητα, ζητώ συνευθειακά.
Είναι επίσης γνωστό, ότι το ταυτίζεται με το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου που αντιστοιχεί στην κορυφή . Από ένα άλλο γνωστό λήμμα, οι ευθείες είναι ισογώνιες ως προς την . Τέλος, χρησιμοποιώντας το χρήσιμο λήμμα που έχουμε δει στο από τον Γιάννη, προκύπτει η ζητούμενη επαφή, με την προϋπόθεση να αποδείξουμε την πρώτη ιδιότητα.

Επικεντρώνομαι τώρα σε αυτή. Καλώ τον μικτοεγγεγραμμένο κύκλο.
Προφανώς το είναι το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των , ως σημείο τομής των εξωτερικών τους εφαπτομένων.
Επίσης είναι εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των , ως σημείο επαφής τους. Για τον ίδιο λόγο το είναι εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των και το των .
Έστω τώρα το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των .
Το θεώρημα για τους κύκλους δίνει ότι τα είναι συνευθειακά. Το ίδιο θεώρημα, για τους δίνει τη συνευθειακότητα των .
Τελικά, και τα τέσσερα σημεία είναι συνευθειακά, και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Η παραπάνω όμορφη και γρήγορη λύση, οφείλεται στον Πάνο (panos misiakos).
(και είναι σίγουρα καλύτερη από τη δική μου )

[simantiris j.]

Μάλλον ξεχάστηκε- παραθέτω μία απόδειξη για τις δύο τελευταίες ιδιότητες.

Αρχικά, έστω το σημείο επαφής του μικτοεγγεγραμμένου κύκλου με τον (χρησιμοποιώ το σχήμα του κύριου Βήττα).
Για την πρώτη ιδιότητα, ζητώ συνευθειακά.
Επικεντρώνομαι τώρα σε αυτή. Καλώ τον μικτοεγγεγραμμένο κύκλο.
Προφανώς το είναι το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των , ως σημείο τομής των εξωτερικών τους εφαπτομένων.
Επίσης είναι εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των , ως σημείο επαφής τους. Για τον ίδιο λόγο το είναι εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των και το των .
Έστω τώρα το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των .
Το θεώρημα για τους κύκλους δίνει ότι τα είναι συνευθειακά. Το ίδιο θεώρημα, για τους δίνει τη συνευθειακότητα των .
Τελικά, και τα τέσσερα σημεία είναι συνευθειακά, και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Η παραπάνω όμορφη και γρήγορη λύση, οφείλεται στον Πάνο (panos misiakos).
(και είναι σίγουρα καλύτερη από τη δική μου )

Εξαιρετική απόδειξη!

[simantiris j.]

Και άλλη μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα (είναι απίστευτο το πόσο πλούσιο είναι αυτό το σχήμα,οι ιδιότητές του που μπλέκουν μέσα και τον μικτοεγγεγραμμένο κύκλο φαίνεται να μην έχουν τελειωμο!)
Αν είναι τα σημεία τομής της με τον περίκυκλο του τριγώνου να αποδειχτεί ότι τα είναι ομοκυκλικά.(δεν έχω προς το παρόν λύση)
Αξίζει να σημειωθεί πως η απόδειξη αυτής μαζί με τις ήδη αποδεδειγμένες παραπάνω ιδιότητες δίνει μια εναλλακτική λύση στο εξαιρετικά δύσκολο πρόβλημα που τέθηκε εδώ
Πράγματι αφού το θα είναι το δεύτερο σημείο τομής του έγκυκλου και του περίκυκλου του τριγώνου θα είναι .Έχει όμως ήδη αποδειχθεί ότι η διέρχεται από το σημείο επαφής του μεικτοεγγεγραμμένου με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ,κάτι που αποδεικνύει το πρόβλημα στο σύνδεσμο.
Προφανώς το να προσπαθήσει να αποδείξει κανείς απευθείας το πρόβλημα του συνδέσμου χρησιμοποιώντας αυτό τον τρόπο χωρίς να γνωρίζει όλες τις ιδιότητες που τέθηκαν στο Εφαπτομένοι Κύκλοι θα ήταν καθαρή τρέλα!

[simantiris j.]

Αν είναι τα σημεία τομής της με τον περίκυκλο του τριγώνου να αποδειχτεί ότι τα είναι ομοκυκλικά.

Επαναφορά!Καλούνται τα "βαριά" γεωμετρικά όπλα του να δώσουν λύση !

[simantiris j.]

Αν είναι τα σημεία τομής της με τον περίκυκλο του τριγώνου να αποδειχτεί ότι τα είναι ομοκυκλικά.

Τελικά δόθηκε λύση σε αυτό το δύσκολο πρόβλημα,δείτε στο ίδιο θέμα που έθεσα προς απάντηση εδώ.Η δεύτερη λύση είναι πολύ όμορφη η τρίτη όμως είναι άξια θαυμασμού.
Και όπως ανέφερα σε πάνω ποστ έτσι δίνεται μια άλλη λύση στο πολύ δύσκολο πρόβλημα που έχουμε στο