Συνευθειακά σημεία στο τετράπλευρο.

#1

Δίνεται τετράπλευρο και έστω τα σημεία $E\equiv AB\cap CD$ και $F\equiv AD\cap BC.$ Επί της πλευράς θεωρούμε τυχόν σημείο και έστω τα σημεία $N\equiv BD\cap EM$ και $P\equiv BD\cap AM.$ Αποδείξτε ότι τα σημεία $Q\equiv AB\cap CP$ και $N,\ F,$ είναι συνευθειακά.

Κώστας Βήττας.

tasosty · #2

Από το Θ.Μενελάου αρκεί $\displaystyle{\frac{{BQ}}{{QA}} \times \frac{{AF}}{{FD}} \times \frac{{DN}}{{NB}} = 1}$

πάλι απ' το Θ.Μενελάου με διατέμνουσα την:

ΕΜΝ στο τρίγ. BCD έχουμε $\displaystyle{\left( {\frac{{DN}}{{NB}}} \right) \times \frac{{BM}}{{MC}} \times \frac{{CE}}{{ED}} = 1}$ (1)

QPC στο τρίγ. ABM έχουμε $\displaystyle{\left( {\frac{{BQ}}{{QA}}} \right) \times \frac{{AP}}{{PM}} \times \frac{{MC}}{{CB}} = 1}$ (2)

BCF στο τρίγ. ADE έχουμε $\displaystyle{\left( {\frac{{AF}}{{FD}}} \right) \times \frac{{DC}}{{CE}} \times \frac{{EB}}{{BA}} = 1}$ (3)

BPT στο τρίγ. AMC έχουμε $\displaystyle{\frac{{AT}}{{TC}} \times \frac{{CB}}{{BM}} \times \frac{{MP}}{{PA}} = 1}$ (4) όπου Τ σημείο τομής της ΑC με την BD

ΒΤD στο τρίγ. AEC έχουμε $\displaystyle{\frac{{AB}}{{BE}} \times \frac{{ED}}{{DC}} \times \frac{{CT}}{{TA}} = 1}$ (5)

Με πολ/σμό των σχέσεων (1), (2), (3), (4) και (5) προκύπτει η ζητούμενη

Συνευθειακά σημεία στο τετράπλευρο.

Συνευθειακά σημεία στο τετράπλευρο.

Re: Συνευθειακά σημεία στο τετράπλευρο.

Μέλη σε σύνδεση