Είναι ορθογώνιο!

#1

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο) με κάθετες τις διαγώνιές του ΑΓ και ΒΔ.

Έστω Μ τυχαίο σημείο του τόξου ΑΔ.

Θεωρούμε διαδοχικά Ν το συμμετρικό του Μ ως προς την ΟΑ, Ρ το συμμετρικό του Ν ως προς την ΟΒ και Κ το συμμετρικό του Ρ ως προς την ΟΓ.

Αν Μ’, Ν’, Ρ’ και Κ’ είναι τα συμμετρικά των Μ, Ν, Ρ, Κ ως προς τις πλευρές ΔΑ, ΑΒ, ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα να δειχθεί ότι το τετράπλευρο Μ’Ν’Ρ’Κ’ είναι ορθογώνιο

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

#2

: lemma.jpg (30.76 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

Λήμμα
Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{A\Delta }$ είναι το ύψος του και

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Έστω

τυχαίο σημείο του τόξου $\displaystyle{\tau o\xi \left( {{\rm A}\Gamma } \right)}$ , και

το συμμετρικό του

ως προς την ακτίνα

(προφανώς το

είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου). Τα σημεία

και

είναι τα συμμετρικά των

και

ως προς τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A}\Gamma {\text{ \& }}{\rm A}{\rm B}}$ αντίστοιχα. Τότε τα σημεία

και

είναι συμμετρικά ως προς το ύψος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ .
Διότι
Λόγω συμμετριών ισχύει $\displaystyle{{\rm A}{\rm N} = {\rm A}{\rm M} = {\rm A}{\rm M}' = {\rm A}{\rm K}}$ και $\displaystyle{\hat x = \left( {\hat x + \hat \omega } \right) - \hat \omega = \left( {{{90}^o} - \hat \Gamma } \right) - \frac{{\tau o\xi \left( {{\rm M}\Gamma } \right)}}{2} = \left( {{{90}^o} - \frac{{\tau o\xi \left( {{\rm A}{\rm B}} \right)}}{2}} \right) - \frac{{\tau o\xi \left( {{\rm A}\Gamma } \right) - \tau o\xi \left( {{\rm A}{\rm M}} \right)}}{2} = }$

$\displaystyle{ = \left( {{{90}^o} - \frac{{\tau o\xi \left( {{\rm A}\Gamma } \right)}}{2}} \right) - \frac{{\tau o\xi \left( {{\rm A}{\rm B}} \right) - \tau o\xi \left( {{\rm A}{\rm M}'} \right)}}{2} = \left( {{{90}^o} - \hat {\rm B}} \right) - \frac{{\tau o\xi \left( {{\rm B}{\rm M}'} \right)}}{2} = \left( {\hat y + \hat \varphi } \right) - \hat \varphi = \hat y}$

Επομένως τα σημεία

και

είναι συμμετρικά ως προς το ύψος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ .

Με διαδοχική εφαρμογή του λήμματος στα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta {\text{ }}{\text{, }}{\rm A}{\rm B}\Gamma {\text{ }}{\text{, }}{\rm B}\Gamma \Delta {\text{ \& }}{\rm A}\Delta \Gamma {\text{ }}}$ της άσκησης προκύπτει η λύση.

Είναι ορθογώνιο!

Είναι ορθογώνιο!

Re: Είναι ορθογώνιο!

Μέλη σε σύνδεση