συντρέχουσες (1)

#1

Καλησπέρα και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους τους φίλους του

: συντρέχουσες (1).png (21.5 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και $\displaystyle{ AD }$ το ύψος του. Φέρνουμε τις $\displaystyle{ DE \bot AB,\left( {E \in AB} \right),\;DZ \bot AC,\left( {Z \in AC} \right) }$

και $\displaystyle{ DE{'}//AC,\left( {E{'} \in AB} \right),\;DZ{'} \bot AB,\left( {Z{'} \in AC} \right) }$

Δείξτε ότι οι ευθείες $\displaystyle{ BC,EZ,E{'}Z{'} }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{ S }$ )

Στάθης

#2

Στο σχήμα του Στάθη
Τα $\displaystyle{S{\text{ }}{\text{, }}E{\text{ \& }}Z}$ είναι συνευθειακά, τότε (Θ. Μενελάου) $\displaystyle{\frac{{SB}}{{SC}} \cdot \frac{{ZC}}{{ZA}} \cdot \frac{{EA}}{{EB}} = 1 \Rightarrow \frac{{SB}}{{SC}} \cdot \frac{{D{C^2}/b}}{{A{D^2}/b}} \cdot \frac{{A{D^2}/c}}{{B{D^2}/c}} = 1 \Rightarrow \frac{{SB}}{{SC}} \cdot \frac{{D{C^2}}}{{B{D^2}}} = 1}$

Όμως $\displaystyle{\frac{{SB}}{{SC}} \cdot \frac{{Z{'}C}}{{Z{'}A}} \cdot \frac{{E{'}A}}{{E{'}B}} = \frac{{SB}}{{SC}} \cdot \frac{{DC}}{{DB}} \cdot \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{SB}}{{SC}} \cdot \frac{{D{C^2}}}{{D{B^2}}} = 1}$ Επομένως (Θ. Μενελάου) τα $\displaystyle{S{\text{ }}{\text{, }}E{'}{\text{ \& }}Z{'}}$ είναι συνευθειακά .

#3

Έστω το σημείο $S\equiv BC\cap EZ$ και αρκεί να αποδειχθεί ότι τα σημεία $S,\ E{'},\ Z{'}$ είναι συνευθειακά.

Από τα δεδομένα της εκφώνησης, παρατηρούμε ότι στις δέσμες $D.AE{'}EB,\ D.CZZ{'}A,$ οι ομόλογες ακτίνες τους σχηματίζουν ίσες γωνίες

$\angle ADE{'} = \angle DAC = \angle CDZ$ και $\angle E{'}DE = 90^{o} - \angle EE{'}D = 90^{o} - \angle A = 90^{o} - \angle ZZ{'}D = \angle ZDZ{'}$ και $\angle EDB = \angle BAD = \angle Z{'}DA$

και άρα, οι δέσμες αυτές έχουν ίσους Διπλούς λόγους.

: Συντρέχουσες (1).; f=112_t=21628.png (16.73 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

Ισχύει δηλαδή, $(D.AE{'}EB) = (D.CZZ{'}A)\ \ ,(1)$

Αλλά, $(D.AE{'}EB) = (A,E{'},E,B)\ \ ,(2)$ και $(D.CZZ{'}A) = (C,Z,Z{'},A) = (A,Z{'},Z,C)\ \ ,(3)$

Από $(1),\ (2),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $(A,E{'},E,B) = (A,Z{'},Z,C)\ \ ,(4)$

Από (4)

συμπεραίνεται ότι η ευθεία E{'}Z{'}

περνάει από το σημείο $S\equiv EZ\cap BC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

S.E.Louridas · #4

Ας προπονηθούμε λοιπόν φίλε Κώστα για την Βόρεια Εϋβοια.

$\begin{array}{*{20}c} {\angle AEZ = \angle ADZ = \angle ACD,\;\dot \alpha \rho \alpha \;EBCZ\;\varepsilon \gamma \gamma \rho \dot \alpha \psi \iota \mu \mu o.\;\Pi \rho o\varphi \alpha \nu \dot \omega \varsigma ,} \\ {} \\ {\vartriangle E{'} BD \sim \vartriangle Z{'} DC.\;{\rm A}\nu \;F \equiv E{'} D \cap EZ \Rightarrow \angle E{'} EF = \angle C = \angle E{'} DB \Rightarrow BF \bot E{'} D} \\ \end{array}$

Εδώ λοιπόν λέμε ότι οι τρείς αυτές ευθείες συντρέχουν (κέντρο ομοιοθεσίας)

S.E.Louridas

συντρέχουσες (1)

συντρέχουσες (1)

Re: συντρέχουσες (1)

Re: συντρέχουσες (1)

Re: συντρέχουσες (1)

Μέλη σε σύνδεση