Σύγκλιση - συνευθειακότητα - ομοκυκλικότητα

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Θεωρούμε τρίγωνο , μια ευθεία του επιπέδου του, και ας είναι . Ας είναι τα δεύτερα

(εκτός των αντίστοιχα) κοινά σημεία των εκ των παραλλήλων προς την με τον περίκυκλο του . Να δειχθεί ότι:
[attachment=0]σύγκλιση - συνευθειακότητα - ομοκυκλικότητα..png[/attachment] i) Οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο του περικυκλίου του

ii) Τα τρίγωνα είναι ίσα

iii) Αν να δειχθεί ότι τα σημεία ανήκουν σε ευθεία με

iv) Αν , να δειχθεί ότι οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο του κύκλου

v) Ισχύει :

Στάθης

[Σακης]

(1)

'Εστω τα σημεία τομής των με τον περιγεγραμμένο αντιστοίχως.

((ε)//)
(βαίνουν στο ιδιο τόξο)
Άρα το είναι εγγράψιμο

Ομοίως το είναι εγγράψιμο.
Άρα καθώς αποτελούν και τα δύο, το δεύτερο σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του με αυτόν του .
Συνεπώς οι και συντρέχουν πάνω στον περίγ. κύκλο του .

Δουλεύοντας παρόμοια με το προκύπτει πως και η διέρχεται από το .

(2)

Καθώς οι και είναι παράλληλες, τα τετράπλευρα είναι ισοσκελή τραπέζια, από όπου προκύπτει ότι τα τρίγωνα και έχουν τις γωνίες του ίσες, και αφού ανήκουν στον ίδιο κύκλο είναι ίσα.

(3)

Τα ανήκουν πάνω στη (κοινή) μεσοκάθετο των η οποία είναι κάθετη στην (ε).

(4)

Το ερώτημα αυτό είναι ουσιαστικά ίδιο με το πρώτο ερώτημα ξεκινώντας με το ως το αρχικό τρίγωνο και τα ως σημεία τομής των παραλλήλων με τον κύκλο.

(5)

Όλο το σχήμα έχει άξονα συμμετρίας την κάθετη στην (ε) που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, την (δ).
Συνεπώς το είναι το συμμετρικό του ως προς την (δ) και άρα η είναι παράλληλη στην (ε).