τελευταία 018: 5 σημεία ομοκυκλικά

[parmenides51]

Μια γνωστή άσκηση (τελευταία σε δυο βιβλία), ας την αντιμετωπίσει καλύτερα κάποιος που δεν την έχει ξαναπετύχει ...

Συγκεντρώνονται εδώ

Εαν περιγράψουμε κύκλους στα τρίγωνα, που δημιουργούνται από καθεμία από τις πλευρές πενταγώνου και τις προεκτάσεις των προσκείμενων σε αυτήν πλευρών του, τα πέντε σημεία τομής των κύκλων αυτών είναι σημεία ομοκυκλικά.

last 018.png (117.33 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο ένα βιβλίο και λυμένη στο άλλο, οι πηγές θα δοθούν μετά την λύση

[rek2]

Η λύση είναι μέσα στο σχήμα, περίπου σαν μαγική εικόνα!

Αρκεί να δείξω ότι τέσσερα οποιαδήποτε από αυτά είναι ομοκυκλικά. Έστω π.χ. τα .

Ο κύκλος διέρχεται, προφανώς, από τα σημεία των τετραπλεύρων αντιστοίχως.

Αντιστρέφω, τώρα, μόνο τους κύκλους με κέντρο το και τυχαία ακτίνα. Συμβολίζω το αντίστροφο κάθε σημείου με το αντίστοιχο μικρό γράμμα. Προκύπτει το επόμενο σχήμα, όπου είναι ρουτίνα να δείξουμε ότι τα σημεία , συνεπώς και τα , είναι ομοκυκλικά και η απόδειξη τελείωσε.

[S.E.Louridas]

Μετά την όμορφη λύση του Άριστου Κώστα (rek2) και μόνο για λόγους Μαθηματικού πλουραλισμού ας δούμε και την διαπραγμάτευση που ακολουθεί:

οπότε τα σημεία είναι ομοκυκλικά,
όμοια τα σημεία είναι ομοκυκλικά, συνεπώς και τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Έτσι παίρνουμε:

Οπότε είναι πλέον φως φανάρι ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

[parmenides51]

ονομάζεται πεντάγραμμο του Miquel , το είδαμε κι εδώ
επειδή έχω προτείνει κι άλλες ασκήσεις από τις ίδιες πηγές μιας και το θέμα είναι γνωστό,
θα τις αναφέρω σαν λυθούν οι υπόλοιπες σχετικές ασκήσεις

[parmenides51]

ας αναφέρω τις πηγές της παραπάνω άσκησης ως τελευταίας για να μην μένει ως εκκρεμότητα

σαν άλυτη άσκηση είναι η 600 (τελευταία στην τελευταία σελίδα) από το βιβλίο του Διον. Ι. Λιβέρη
Η Θεωρία της Γεωμετρικής Ασκήσεως, τόμος Α΄, Επίπεδος Γεωμετρία, Βιβλια Ι-ΙΙ
έχει 197 σελίδες κι εκδόθηκε το 1967 στην Αθήνα, εκδόσεις δεν αναφέρονται κάπου

σαν λυμένη είναι η 110 (τελευταία στην τελευταία σελίδα) από το βιβλίο του Ιωάννη Ιωαννίδη
Γεωμετρία 3 : Κύκλος (το πορτοκαλί) έχει 219 σελίδες, από τις εκδόσεις Κορφιάτη
είναι από μια σειρά σχολικής Γεωμετρίας που ετοίμασε ο Ιωαννίδης που προοριζόταν να βγει σε 12 τεύχη (τόμους)
αλλά επειδή άλλαξε το σύστημα, βγήκαν μόνο 4 τόμοι, ας αναφέρω τα στοιχεία τους
Γεωμετρία 1: Ευθύγραμμα Σχήματα σελ. 238 και χρώματος κόκκινου
Γεωμετρία 3: Κύκλος σελ. 219 και χρώματος πορτοκαλί
Γεωμετρία 6: Όμοια Σχήματα σελ. 110 και χρώματος πράσινου
Γεωμετρία 12: Πολύεδρα σελ. 416 και χρώματος μπλε

[S.E.Louridas]

...είναι από μια σειρά σχολικής Γεωμετρίας που ετοίμασε ο Ιωαννίδης που προοριζόταν να βγει σε 12 τεύχη (τόμους)
αλλά επειδή άλλαξε το σύστημα, βγήκαν μόνο 4 τόμοι, ας αναφέρω τα στοιχεία τους...

Συμβαίνει άραγε αυτό στη Πατρίδα μας; Αλλάζει ποτέ ένα εκπαιδευτικό σύστημα στο οποίο καταλήξαμε, μετά από μακροχρόνια σοβαρή διαδικασία, χωρίς να προλαβαίνει να ολοκληρωθεί επί τη εμφανίσει κάποιας " επώνυμης " μεταρρύθμισης που το αντικαθιστά; Ε όχι... μη τρελαθούμε κιόλας.