ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Βρήκα ένα θέμα από την 23η Μαθηματική Ολυμπιάδα της Ιρλανδίας που έγινε στις 24 Απριλίου 2010.
Το προτείνω γιατί το θεωρώ ως απαραίτητη γνώση για παιδιά που ασχολούνται με μαθηματικούς διαγωνισμούς.

'Εστω a,b,c

τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου ABC.

Αποδείξτε ότι τα
$x=\sqrt{a\left ( b+c-a \right )},y=\sqrt{b\left ( a+c-b \right )},z=\sqrt{c\left ( a+b-c \right )}}$
είναι μήκη πλευρών ενός οξυγωνίου τριγώνου XYZ

με μικρότερη περίμετρο από αυτήν του ABC

, εκτός αν το ABC

είναι ισόπλευρο.

Τι μπορεί να λεχθεί για το εμβαδόν του XYZ

συγκριτικά με το εμβαδόν του ABC

;

#2

Οι

είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν υπάρχουν θετικοί αριθμοί p,q,r

τέτοιοι ώστε

$a=\dfrac{q+r}{2}, \ b=\dfrac{r+p}{2}, \ c=\dfrac{p+q}{2}$

Τότε $x=\sqrt{\dfrac{p(q+r)}{2}}, \ y=\sqrt{\dfrac{q(r+p)}{2}}, \ z=\sqrt{\dfrac{r(p+q)}{2}}$

Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι $a\leq b\leq c$ τότε παίρνουμε $r\leq q\leq p$ κι έτσι $x\geq y\geq z$ .

Για να αποτελούν τα x,y,z

πλευρές τριγώνου και για να είναι οξυγώνιο αρκεί να αποδείξουμε ότι x<y+z

(που προκύπτει με μία ύψωση στο τετράγωνο) και x^2<y^2+z^2

(που είναι άμεσο με αντικατάσταση) αντίστοιχα.

Επίσης αν $\Pi_{XYZ}$ και $\Pi_{ABC}$ η περίμετρος του τριγώνου XYZ

και

αντίστοιχα τότε:

$\begin{aligned}2\Pi_{XYZ} &= x+y+z = \sqrt{\dfrac{p(q+r)}{2}} + \sqrt{\dfrac{q(r+p)}{2}} + \sqrt{\dfrac{r(p+q)}{2}} \\ &\stackrel{AM-GM}{\leq} \dfrac{p+\tfrac{q+r}{2}}{2}+\dfrac{q+\tfrac{r+p}{2}}{2}+\dfrac{r+\tfrac{p+q}{2}}{2} = p+q+r=a+b+c=2\Pi_{ABC}\end{aligned}$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν p=q=r

δηλαδή

που σημαίνει ότι το ABC

είναι ισόπλευρο.

Edit (Προσθήκη για το ερώτημα που αφορά τα εμβαδά των δύο τριγώνων):

Τα εμβαδά των δύο τριγώνων είναι ίσα (ωραίο αποτέλεσμα):

Η απόδειξη γίνεται με τον τύπο του Ήρωνα τη (βασική) ταυτότητα:

(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-x^4-y^4-z^4

και πράξεις μεταξύ των:

$E_{ABC}=\sqrt{pqr\dfrac{p+q+r}{2}}$

$E_{XYZ}=\dfrac{1}{4}\sqrt{(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)}$

Αλέξανδρος

harrisp · #3

Μια διαφορετική (ελπίζω σωστή) προσέγγιση για το (α) μετα την όμορφη λυση του κυρίου Αλέξανδρου.

Για να αποτελούν οι x,y,z

πλευρές οξυγώνιου τριγώνου αρκεί να ισχύει x^2<y^2+z^2

.

Όμως τα x^2,y^2,z^2

γίνονται με την βοήθεια των δοσμένων ισοτήτων:
a(s-a), b(s-b), c(s-c)

αντίστοιχα, οπου

η ημιπερίμετρος του ABC

.
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε την : a(s-a)<b(s-b)+c(s-c)

η οποία μετα απο πράξεις και αντικαταστάσεις γίνεται:
(b-c+a)(b-c-a)<0

που ισχύει (τριγωνική ανισότητα).

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Νομίζω ότι είναι κατάλληλο να γράψω κάτι πάνω σε αυτό το θέμα...
Το θέμα φυσικά δεν βγήκε έτσι στην τύχη , στην πραγματικότητα εκφράζει κάτι που το καταλαβαίνουν αρκετοί...
Όταν όμως το βλέπεις διατυπωμένο ως θέμα μαθηματικού διαγωνισμού , μάλλον ξαφνιάζεσαι...

Έστω τρίγωνο ABC

και έστω

τα σημεία επαφής των πλευρών AB,AC,BC

με τον εγγεγραμμένο κύκλο.
Ας υπολογίσουμε το μήκος DE.

Θα χρησιμοποιηθεί ο νόμος του συνημιτόνου στο τρίγωνο ADE

, η πρώτη σκέψη που έρχεται στο μυαλό...
Φυσικά δεν ξεχνάμε ότι AD=AE=s-a.

$DE^{2}=AD^{2}+AE^{2} -2AD\cdot AE\cdot cosA=\left ( s-a \right )^{2}+\left ( s-a \right )^{2}-2\left ( s-a \right )\left ( s-a \right )cosA=$

$\displaystyle2\left ( s-a \right )^{2}\left ( 1-cosA \right )=2\left ( s-a \right )^{2}\left ( 1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right )=$

$\displaystyle 2\left ( s-a \right )^{2}\cdot \frac{2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2bc} = \left ( s-a \right )^{2}\cdot \frac{a^{2}-(b^{2}+c^{2}-2bc)}{bc} =$

$\displaystyle\left ( s-a \right )^{2}\cdot \frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{bc} = \left ( s-a \right )^{2}\cdot \frac{(a-b+c)(a+b-c)}{bc} =$

$\displaystyle\left ( s-a \right )^{2}\cdot \frac{(2s-2b)(2s-2c)}{bc} = \left ( s-a \right )^{2}\cdot \frac{4(s-b)(s-c)}{bc} =$

$\displaystyle \left ( s-a \right )^{2}\cdot \frac{4E^{2}a}{abcs(s-a)} = \left ( s-a \right )\cdot \frac{4E^{2}a}{4ERs} =$

$\displaystyle\left ( s-a \right )\cdot \frac{4E^{2}a}{4ERs} = \left ( s-a \right )\cdot \frac{Ea}{Rs} = \left ( s-a \right )\cdot \frac{sra}{Rs} =\frac{r}{R}a(s-a)$

Έτσι λοιπόν $\displaystyle DE=\sqrt{\frac{r}{R}}\sqrt{a\left ( s-a \right )}$

Mε τις ίδιες σκέψεις μπορεί να αποδειχθεί ότι $\displaystyle DF=\sqrt{\frac{r}{R}}\sqrt{b\left ( s-b \right )}$ και ότι $\displaystyle EF=\sqrt{\frac{r}{R}}\sqrt{c\left ( s-c \right )}$

Άρα τα μήκη $\sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}$ σχηματίζουν τρίγωνο και αφού είναι γνωστό ότι το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του είναι οξυγώνιο , εύκολα συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο με μήκη πλευρών $\sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}$ είναι επίσης οξυγώνιο.

Το τρίγωνο με μήκη πλευρών $\sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}$ είναι όμοιο με το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του
O λόγος ομοιότητας είναι ίσος με $\displaystyle \sqrt{\frac{r}{R}}$ .

Από εδώ μπορούν να προκύψουν ωραία συμπεράσματα...

Φυσικά ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του ABC

είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του ABC.

Δεν ξεχνάμε ότι ο λόγος ομοιότητας των δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με τον λόγο των ακτίνων των περιγεγραμμένων τους κύκλων.
Έτσι λοιπόν αν συμβολίσουμε με $R_{T}$ την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου που έχει μήκη πλευρών $\sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}$ μπορούμε πλέον να γράψουμε
$\displaystyle \frac{r}{R_{T}}=\sqrt{\frac{r}{R}}$ και έτσι $R_{T}=\sqrt{Rr}$

Ας δούμε τι γίνεται με το εμβαδόν του τριγώνου μήκη πλευρών $\sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}$ ...
Ας το ονομάσουμε $E_{T}.$

Iσχύει ότι $\displaystyle\frac{r}{R}=\frac{(EFD)}{E_{T}}$

Είναι όμως γνωστό ότι $\displaystyle \frac{r}{2R}=\frac{\left ( EFD \right )}{\left ( ABC \right )}\Leftrightarrow \left ( EFD \right )=\frac{r}{2R}\left ( ABC \right )$

Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι $\displaystyle E_{T}=\frac{\left ( ABC \right )}{2}$

Για να μην γίνει κάποια σύγχυση με το θέμα έτσι όπως το έδωσαν στην Ιρλανδία , εκεί δόθηκαν μήκη $\sqrt{2a\left ( s-a \right )},\sqrt{2b\left ( s-b \right )},\sqrt{2c\left ( s-c \right )}$ γι' αυτό είχαμε ισότητα εμβαδών. Η ουσία δεν αλλάζει όμως...

ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...

ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...

Re: ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...

Re: ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...

Re: ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...

Μέλη σε σύνδεση