Αναγκαία βοήθεια στις Πιθανότητες | Καινούργιο Νήμα

Ellas95 · #1

ΘΕΜΑ 1
Έστω

συνεχής τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφα κατανεμημένη στο (0,1)

, και

μια τυχαία μεταβλητή που δίνεται συναρτήσει της

.
$Y=-l^{-1}log(1-X)$ με l>0

. ( l = λ . Το έγραψα στα αγγλικά διότι δεν δέχεται ελληνικά ο online επεξεργαστής )
i) Σχεδιάστε ποιοτικά τις κατανομές των

,

.
ii)Βρείτε την πυκνότητα της

.

ΘΕΜΑ 2
Να δείξετε ότι για μια στοχαστική διαδικασία Markov ισχύει, $\displaystyle{(t_{1},>t_{2},>...),}$
$p(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2};x_{3},t_{3};x_{4},t_{4})=p(x_{1},t_{1}|x_{2},t_{2})p(x_{2},t_{2}|x_{3},t_{3})p(x_{3},t_{3}|x_{4},t_{4})p(x_{4},t_{4})$
____________________________________________________________________________________________________
Γνωρίζω πώς να δείξω ότι : $p(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2};x_{3},t_{3})=p(x_{1},t_{1}|x_{2},t_{2})p(x_{2},t_{2}|x_{3},t_{3})p(x_{3},t_{3})$
Δηλαδή :
$p(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2};x_{3},t_{3})=p(x_{1},t_{1}|x_{2},t_{2};x_{3},t_{3})p(x_{2},t_{2};x_{3},t_{3})=p(x_{1},t_{1}|x_{2},t_{2})p(x_{2},t_{2}|x_{3},t_{3})p(x_{3},t_{3})$ Το έδειξα.

Αλλά δεν μπορώ να δείξω το ΘΕΜΑ 2, και κατ'επέκταση να το λύσω.

ΘΕΜΑ 3
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x(1-x), 0\leq x\leq 1}$ και $\displaystyle{g(x)=0}$ παντού αλλού.
i) Να ελέγξετε πότε η δοθείσα συνάρτηση αντιπροσωπεύει πυκνότητα.
ii) Να προσδιορίσετε την αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής $\displaystyle{G(x)}$ .
iii) Είναι η συνάρτηση πυκνότητας συμμετρική ?

Το Θέμα 2 και το Θέμα 3, με ενδιαφέρουν περισσότερο, καθώς τα έχω προσπαθήσει να τα λύσω πολλάκις αλλά μάταια. Το θέμα 1 δεν μπορώ να το λύσω με "τίποτα".
======================================================================================================================================================

Προηγούμενο Νήμα : Θέμα: Επείγουσα βοήθεια παρακαλώ στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τα θέματα αυτά δεν αποτελούν προσωπική εργασία για το σπίτι. Τα έχω προσπαθήσει να τα λύσω πάρα πολλές φορές αλλά δεν μπορώ.
Εδώ και 3 μήνες "παλεύω" με τα συγκεκριμένα θέματα.
Όποιος επιθυμεί να με βοηθήσει, θα το εκτιμήσω ιδιαίτερα και εκτιμώ φυσικά το γεγονός, ότι κάποια μέλη του ήδη με έχουν βοηθήσει πάρα πολύ.
Ανήκω στην μειονότητα των φοιτητών εκείνων που εργάζονται ταυτόχρονα με τις σπουδές τους(για να καλύψω το μεγαλύτερο μέρος από τα έξοδα μου). Γι αυτό και δεν μπορώ να είμαι άριστος.
Το γεγονός ότι, τα οικονομικά των γονιών μου πάνε από το κακό στο χειρότερο δεν μου δίνουν και πολλά " περιθώρια ελεύθερου χρόνου ".

======================================================================================================================================================

Σας ευχαριστώ όλους εκ των προτέρων.

batmsup1 · #2

Εγώ πιστεύω οτι ένα ανώτερο δίδαγμα απο τα θέματα που έβαλες είναι να μην απολογείσαι στη ζωή αυτή. Θα μπορούσες να επιλέξεις αλλη διατύπωση και αλλους τρόπους και δε χρειάζονται εδω να μας αναφέρεις τα οικογενειακά σου και τα οικονομικά σου προβλήματα. Ειδικά την τελευταία πρότασή σου δεν την καταλαβαίνω.

Ellas95 · #3

batmsup1 έγραψε:Εγώ πιστεύω οτι ένα ανώτερο δίδαγμα απο τα θέματα που έβαλες είναι να μην απολογείσαι στη ζωή αυτή. Θα μπορούσες να επιλέξεις αλλη διατύπωση και αλλους τρόπους και δε χρειάζονται εδω να μας αναφέρεις τα οικογενειακά σου και τα οικονομικά σου προβλήματα. Ειδικά την τελευταία πρότασή σου δεν την καταλαβαίνω.

Δεν θεωρώ ότι η απάντηση σου ανήκει στα πλαίσια του εποικοδομητικού διαλόγου .

Μπορεί εσένα να σου φαίνεται γελοίο το γεγονός ότι εργάζομαι από τα 20 μου (έστω και περιστασιακά). Αλλά εμένα δεν μου φαίνεται.

Είναι εύκολο κάποιος να κάνει τον "έξυπνο", όταν τα έχει βρει όλα έτοιμα από τους γονείς του. Αλλά εμένα μου φαίνεται τελείως αλαζονική και υποτιμητική η απάντηση σου.

Δεν απολογούμαι για τίποτα. Είμαι περήφανος γι'αυτό που είμαι.

Και 2 ανώτερα διδάγματα μέσα από τη ζωή σχετικά με το δικό σου δίδαγμα :

1. Για ότι κακό κάνουμε στους ανθρώπους, εκφράζουμε ή λέμε, θα είμαστε υπόλογοι από τον Θεό ή από την ίδια την ζωή αν θες.
2. Τίποτα στην ζωή δεν κερδίζετε χωρίς αγώνες και δεν είναι ντροπή να εργάζεται κάποιος.

Φιλικά.

paulgai · #4

Για το πρώτο θέμα χρησιμοποιούμε τη θεωρία που περιγράφεται εδώ:

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_var ... _variables

Στην περίπτωσή μας είναι: $y=g\left ( x \right )=- \lambda^{-1} ln\left (1-x \right )$ με $g:(0,1)\rightarrow (0,\infty )$ .
$\displaystyle F_{X}\left ( x \right )=x$ (ομοιόμορφη κατανομή) και $g^{-1}\left ( y \right )=1-e^{-\lambda y}$ , άρα η συνάρτηση κατανομής της

θα είναι:

$\displaystyle F_{Y}\left ( y \right )=F_{X}\left ( g^{-1}\left ( y \right ) \right )=1-e^{-\lambda y}$

Eπισυνάπτω και τα γραφήματα.

: image.jpg (72.78 KiB) Προβλήθηκε 2536 φορές

Σε ότι αφορά τις πυκνότητες θα έχουμε f_X(x) =1

και:

$\displaystyle f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d g^{-1}(y)}{d y} \right|=\left| \frac{d g^{-1}(y)}{d y} \right|=\lambda e^{-\lambda y}$

Μπορούμε επίσης να βρούμε και το $\lambda$ από την συνθήκη $\int_{0}^{\infty }f_{Y}(y)dy=1$ , από όπου προκύπτει $\lambda =1$ .

Ellas95 · #5

Γεια σας και ευχαριστώ πάρα πολύ για την απάντηση σας!

Ομολογώ ότι το συγκεκριμένο θέμα δεν υπήρχε περίπτωση, ούτε μια στο εκατομμύριο να το λύσω. Τώρα, θα το ξαναπροσπαθήσω μόνος μου, για να δω που κολλούσα.

paulgai έγραψε:
Σε ότι αφορά τις πυκνότητες θα έχουμε και:

$\displaystyle f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d g^{-1}(y)}{d y} \right|=\left| \frac{d g^{-1}(y)}{d y} \right|=\lambda e^{-\lambda y}$

Σας είναι εύκολο μήπως, να μου εξηγήσετε, πώς προκύπτει το παραπάνω ;

Δηλαδή, πως προκύπτει ότι :
$f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y}$

Σας ευχαριστώ !

Ellas95 · #6

Γνωρίζω πώς να δείξω ότι : $p(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2};x_{3},t_{3})=p(x_{1},t_{1}|x_{2},t_{2})p(x_{2},t_{2}|x_{3},t_{3})p(x_{3},t_{3})$

Δηλαδή :
$p(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2};x_{3},t_{3})=p(x_{1},t_{1}|x_{2},t_{2};x_{3},t_{3})p(x_{2},t_{2};x_{3},t_{3})=p(x_{1},t_{1}|x_{2},t_{2})p(x_{2},t_{2}|x_{3},t_{3})p(x_{3},t_{3})$ . Το έδειξα.

Αλλά δεν μπορώ να δείξω το ΘΕΜΑ 2, δηλαδή δεν μπορώ να δείξω ότι : $p(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2};x_{3},t_{3};x_{4},t_{4})=p(x_{1},t_{1}|x_{2},t_{2})p(x_{2},t_{2}|x_{3},t_{3})p(x_{3},t_{3}|x_{4},t_{4})p(x_{4},t_{4})$

Μπορεί κάποιο να με βοηθήσει-"διαφωτίσει" σχετικά με το Θέμα 2, παρακαλώ πολύ

#7

Μια συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αν

(α) $f(x) \geqslant 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

(β) $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1}$

Σε αυτήν την περίπτωση η συνάρτηση κατανομής ορίζεται ως $\displaystyle{F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt}$ .

Αναγκαία βοήθεια στις Πιθανότητες | Καινούργιο Νήμα

Αναγκαία βοήθεια στις Πιθανότητες | Καινούργιο Νήμα

Re: Αναγκαία βοήθεια στις Πιθανότητες

Re: Αναγκαία βοήθεια στις Πιθανότητες

Re: Αναγκαία βοήθεια στις Πιθανότητες

Re: Αναγκαία βοήθεια στις Πιθανότητες

Re: Αναγκαία βοήθεια στις Πιθανότητες

Re: Αναγκαία βοήθεια στις Πιθανότητες | Καινούργιο Νήμα

Μέλη σε σύνδεση