Πάμε στοίχημα ή όχι;

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Ξεκινάω μια σειρά προβλημάτων με τα οποία έχω ασχοληθεί στο παρελθόν.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε την εξής επιλογή:

Έχετε στην τσέπη σας 100

€ και μπορείτε να τα στοιχηματίσετε ρίχνοντας 100

φορές ένα αμερόληπτο νόμισμα. Για να αποφύγετε τη χρεοκοπία αποφασίζετε ότι σε κάθε ρίψη θα ποντάρετε το

% του διαθέσιμου ποσού. Κάθε φορά που θα έρχεται ''γράμματα'' θα κερδίζετε το διπλάσιο του ποσού που ποντάρατε ενώ κάθε φορά που θα έρχεται ''κεφαλή'' θα χάνετε όλο το ποσό πονταρίσματος.
Για να κατανοήσετε καλύτερα το σύστημα, ας εξετάσουμε την πιθανή εξέλιξη του πονταρίσματος. Το πρώτο σας στοίχημα θα είναι το

% των

€ δηλαδή

€. Αν έρθει ''γράμματα'' τότε κερδίζετε 150

€ και το διαθέσιμο ποσό θα είναι 100

€ +

€ =

€ (

€ το αρχικό κεφάλαιο και 150

€ το κέρδος σας). Αν έρθει ''κεφαλή'' τότε χάνετε τα

€ που ποντάρατε και το διαθέσιμο ποσό θα είναι 100

€ –

€ =

€. Αν κερδίσετε το πρώτο στοίχημα τότε το δεύτερο ποντάρισμα θα είναι 187,5

€ (δηλαδή το

% των

€)ενώ αν χάσετε το πρώτο στοίχημα τότε το δεύτερο ποντάρισμα θα είναι 18,75

€ (δηλαδή το

% των

€ ) κ.ο.κ..

Θα παίζατε το παραπάνω στοίχημα;

Grigoris K. · #2

Έστω

τα χρήματά μας μετά την

-οστή ρίψη του νομίσματος. Το αρχικό μας κεφάλαιο είναι X_0 = 100

.

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n+1} = 2.5X_n) = \frac{1}{2} }$ και $\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n+1} = 0.25X_n) = \frac{1}{2} }$ για κάθε $0\leq n \leq 99$ .

Η κατανομή της $X_{100}$ είναι $\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{100} = (2.5)^k (0.25)^{100-k} X_0) = \frac{1}{2^{100}} { 100 \choose k}}$ , όπου $\displaystyle{ 0 \leq k \leq 100 }$ .

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ X_{100} > X_0 \iff (2.5)^k (0.25)^{100-k} > 1 \iff 10^k > 4^{100} \iff k > 100\frac{\log 4}{\log 10}} }$ .

Ισοδύναμα $k \geq 61$ . Επομένως $\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{100}> X_0) = \sum_{k=61}^{100} \frac{1}{2^{100}} {100 \choose k} \approx 0.0176}$ και κατά συνέπεια

το στοίχημα κρίνεται μη ευνοϊκό.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Σωστά. Το μέσο κέρδος εκτινάσσεται αλλά στην πράξη αυτός που θα παίξει το στοίχημα είναι χαμένος (ο κατά μέσο όρο νικητής είναι πρακτικά χαμένος). Είναι πρόβλημα από το βιβλίο ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Morton D.Davis. Επίσης, διαπραγματεύεται το βέλτιστο ποσοστό πονταρίσματος κάνοντας αναφορά στο KELLY CRITERION.

Πάμε στοίχημα ή όχι;

Πάμε στοίχημα ή όχι;

Re: Πάμε στοίχημα ή όχι;

Re: Πάμε στοίχημα ή όχι;

Μέλη σε σύνδεση