άσκηση στις διαφορικές εξισώσεις

KostasA · #1

με την παρακάτω άσκηση έχω τραβήξει ζόρι

(μου χει τύχει 2 φορές σε διαγώνισμα

)

Εκφώνηση:
Ποιές συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d

ώστε κάθε λύση του συστήματος $\vec{x}'=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \vec{x}$ να τείνει στο 0 όταν το t πάει στο άπειρο.

καμιά γνώμη;
ξεκινάω προσπαθώντας να βρω τις ιδιοτιμές του πίνακας και καταλήγω
στην σχέση $\lambda ^{2}-(a+d) \lambda+ (ad-bc)=0$ ...
από εκεί και μετά όμως δεν μπορώ να βρω κάποια διέξοδο...
ευχαριστώ πολύ...

#2

Λύση χωρίς Γραμμική Άλγεβρα Τελεστών.

Θέτοντας $\displaystyle{\vec x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {x_1}\left( t \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \\ {{x_2}\left( t \right)} \end{array}} \right)}$ έχουμε $\displaystyle{\vec x\,' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} x{'_1}\left( t \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \\ {x{'_2}\left( t \right)} \end{array}} \right)}$ . Τότε

$\begin{aligned} \vec x\,' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right)\vec x{\text{ }} \Rightarrow &\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} x_1'\left( t \right) = a{x_1}\left( t \right) + b{x_2}\left( t \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \\ {x_2'\left( t \right) = c{x_1}\left( t \right) + d{x_2}\left( t \right)} \end{array}} \right\} &\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} x_1{''}\left( t \right) = ax_1'\left( t \right) + bx_2'\left( t \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \\ {x_2{''}\left( t \right) = cx_1'\left( t \right) + dx_2'\left( t \right)} \end{array}} \right\} \Rightarrow &\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} x_1{''}\left( t \right) = ax_1'\left( t \right) + b\left( {c{x_1}\left( t \right) + d{x_2}\left( t \right)} \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \\ {x_2{''}\left( t \right) = c\left( {a{x_1}\left( t \right) + b{x_2}\left( t \right)} \right) + dx_2'\left( t \right)} \end{array}} \right\} &\Rightarrow \end{aligned}$

$\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} x_1{''}\left( t \right) = ax_1'\left( t \right) + bc{x_1}\left( t \right) + d\left( {x_1'\left( t \right) - a{x_1}\left( t \right)} \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \\ {x_2{''}\left( t \right) = dx_2'\left( t \right) + cb{x_2}\left( t \right) + a\left( {x_2'\left( t \right) - d{x_2}\left( t \right)} \right)} \end{array}} \right\} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} x_1{''}\left( t \right) = \left( {a + d} \right)x_1'\left( t \right) + \left( {bc - ad} \right){x_1}\left( t \right) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \\ {x_2{''}\left( t \right) = \left( {a + d} \right)x_2'\left( t \right) + \left( {bc - ad} \right)x\left( t \right)} \end{array}} \right\}}$

Επομένως οι συναρτήσεις $\displaystyle{{x_1}\left( t \right){\text{ \& }}{x_2}\left( t \right)}$ είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης $\displaystyle{{x{''}}\left( t \right) = \left( {a + d} \right){x'}\left( t \right) + \left( {bc - ad} \right)x\left( t \right)}$

με χαρακτηριστική εξίσωση $\displaystyle{{\omega ^2} - \left( {a + d} \right)\omega + \left( {ad - bc} \right) = 0}$

Για να έχουμε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {x_i}\left( t \right) = 0}$ θα πρέπει οι ρίζες $\displaystyle{{\lambda _1}{\text{ \& }}{\lambda _2}}$ της χαρακτηριστικής εξίσωσης να είναι αρνητικές, (οπότε για τις λύσεις $\displaystyle{{x_i}\left( t \right) = {A_i}{e^{{\lambda _1}t}} + {B_i}{e^{{\lambda _2}t}}}$

της αρχικής διαφορικής θα ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{A_i}{e^{{\lambda _1}t}} + {B_i}{e^{{\lambda _2}t}}} \right) = 0}$ ). Άρα θα πρέπει $\displaystyle{\boxed{a + d < 0{\text{ \& }}ad - bc > 0}}$

Αν ζητάμε ταλαντούμενες λύσεις τότε πρέπει να έχουμε μιγαδικές ρίζες, επομένως αρνητική διακρίνουσα.

Αν ζητάμε απειριζόμενες λύσεις θα πρέπει η χαρακτηριστική να έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα .. κ.ο.κ.

άσκηση στις διαφορικές εξισώσεις

άσκηση στις διαφορικές εξισώσεις

Re: άσκηση στις διαφορικές εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση