ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

[dimgiann]

Συνάδελφοι
νομίζω ότι η μονοτονία δεν είναι υποχρεωτικό να αναφερθεί
Η συνέχεια της συνάρτησης και τα όρια δίνουν (ένα) διάστημα στο οποίο βρίσκονται οι τιμές της συνάρτησης (όχι κατ΄αναγκη το σύνολο τιμών αλλά υποσύνολό του). Στη συγκεκριμένη περίπτωση επειδή το διάστημα που προκύπτει είναι το R είναι και το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Δ. Γιαννόπουλος

[polydeykhs]

Λοιπόν παραθέτω την απόδειξη που νομίζω ότι είναι απαραίτητη (να δεχθώ όχι για τις εξετάσεις ενός υποψηφίου αλλά για την μαθηματική αυστηρότητα).Άλλωστε το να δώσει μια τέτοια λύση ένας μαθητής δείχνει ένα επίπεδο ανώτερο από αυτόν που απλά θυμόταν την αντίστοιχη του σχολικού βιβλίου.Σίγουρα πρόκειται για μαθητή "σοφιστικέ".
Μάλλον τι να παραθέσω.Αφού την ξέρετε πολύ καλά.
Όταν λέμε ότι μια πολυωνυμική συνάρτηση περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα ασχέτως μονοτονίας (ήταν παλιότερη εφαρμογή αν δε κάνω λάθος) δεν το θεωρούμε τετριμμένη πρόταση και την αποδεικνύουμε.Έτσι δεν είναι;
Ακριβώς το ίδιο θέμα έχουμε στην περίπτωσή μας αλλά αντί για πολυωνυμική έχουμε ρητή συνάρτηση.
Πολύ απλά λοιπόν όχι μόνο το μηδέν αλλά κάθε α στο R μπορούμε να δείξουμε με τη βοήθεια του ορισμού των ορίων ότι είναι τιμή της οποιασδήποτε συνεχούς συνάρτησης σε ανοικτό διάστημα με όρια αντίσtοιχα + και - άπειρo.
Έπεται όμως τετριμμένα αυτό έστω και από το ότι η εικόνα διαστήματος είναι διάστημα;
Μπάμπη ήδη έκανες απόδειξη με αυτά που γράφεις.Είναι μια άλλη απόδειξη το άτοπο.
Υ.Γ. Δεν είμαι φορμαλιστής, δεν πρέπει να εγκλωβίζουμε και απογοητεύουμε μαθητές με την υπερβολική αυστηρότητα.Άλλωστε αναλώνω τη δραστηριότητά μου στην εισαγωγή στα Μαθηματικά μαθητών που έχουν πάρει διαζύγιο.(βλέπε Τέχνη και Μαθηματικά-Μουσείο Ηρακλειδών, Εστίες Γνώσης και Επιστημών κλπ.) Είπα και πιο πάνω ότι ένας τέτοιος μαθητής πρέπει να πάρει όλες τις μονάδες αν το θέμα μας είναι αυτό.
Μακρηγόρησα Θωμά αλλά κι εσύ είπες ότι αξίζει.

[nsmavrogiannis]

Γνώμη μου είναι ότι χωρίς τη μονοτονία είναι ελλιπής ο ισχυρισμός αλλά βέβαια όχι όλο λάθος.

νομίζω ότι η μονοτονία δεν είναι υποχρεωτικό να αναφερθεί

Το θέμα το έχουμε ξανακουβεντιάσει στο mathematica και έχουμε κάνει την απόδειξη

Πράγματι το θέμα το είχαμε κουβεντιάσει διεξοδικά και δεν είχαμε συμφωνήσει όπως δεν επιτυγχάνεται, όπως φαίνεται από τα παραθέματα, και τώρα συμφωνία. Εϊχαμε συμφωνήσει μόνο στο ότι ότι πρόκειται για ένα κενό του βιβλίου το οποίο καλόν θα ήτο να συμπληρωθεί απο το Παιδαγωγικό Ισντιτούτο. Ας είναι.

Να όμως που η ζωή το ξανάφερε το θέμα και το βρίσκουμε μπροστά μας. Θα πω τη γνώμη μου όσο πιό σύντομα γίνεται:
Το σχολικό βιβλίο (σελίδα 184) επιτρέπει μία "κατ΄αναλογίαν" επέκταση των ιδιοτήτων των ορίων για την περίπτωση που η μεταβλητή ή η συνάρτηση τείνει στο .
Το σχολικό βιβλίο όμως (σελίδες 194 και μετά) δεν αναφέρει τίποτε για επέκταση του θεωρήματος ενδιάμεσης τιμής σε ανοικτό διάστημα ή στα
Επομένως δεν νομιμοποιείται ο οποιοσδήποτε (μαθητής ή όχι), σε μία εντός ύλης πραγμάτευση, να καταλήξει στο συμπερασμα ότι η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το . Πρέπει να πεί κάτι ακόμη. Κατά την γνώμη μου η πλήρης απόδειξη που χρησιμοποιεί όρια και δεν εξετάζει τη μονοτονία (διότι τότε δεν υπάρχει πρόβλημα) θα πρέπει να περιέχει ένα επιχείρημα του τύπου:

Με είναι και υπάρχει ώστε . 'Ομοια αφού υπάρχει ώστε . Προφανώς και από το θεώρημα του Bolzano για την ρητή άρα και συνεχή συνάρτηση στο διάστημα με άκρα έχουμε ότι υπάρχει μεταξύ των τέτοιο ώστε το οποίο φυσικά ανήκει και στο .

Θεωρώ ότι άλλα επιχειρήματα που χρησιμοποιούν αναλογίες θεωρημάτων που ναι μεν υπάρχουν αλλά δεν αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο ή επιχειρήματα που κάνουν επίκληση της διαίσθησης θα πρέπει να αξιολογηθούν θετικά και προσεκτικά αλλά λύσεις που στηρίζονται σε αυτά δεν πρέπει να πάρουν το σύνολο της βαθμολογίας. Αν ο βαθμολογητής δώσει το σύνολο της βαθμολογίας απλώς αδικεί τους πολύ καλούς μαθητές που ότι γράφουν "το καρφώνουν με την βαριά" για να χρησιμοποιήσω μία φράση του Α. Καίστλερ. Οι συνάδελφοι βαθμολογητές γνωρίζουν ότι βαθμολογούμε σε ένα διαγωνισμό όπου πρέπει να κερδίσει ο καλλίτερος. Επίσης γνωρίζουν ότι τυχόν επιεικής βαθμολόγηση στα θέματα όπου παίζονται οι μονάδες (όλο το 4 και το 3Βγ) αναγορεύει σε κριτή εισόδου για ενδιαφέρουσες σχολές άλλα (ήσσονος σημασίας) μαθήματα.
Μαυρογιάννης

[dragonver]

Ξέρω ότι ψάχνω ψίλους στα άχυρα αλλά λόγω αγωνίας για το καλύτερο αποτέλεσμα θέλω να ρωτήσω κάτι σαν μαθητής. Στο θέμα 3γ, όταν ανέφερα τις προϋποθέσεις του Bolzano, εγραψα ότι g(1)<0 και g(2)>0. Δεν έγραψα όμως συγκεκριμένα ότι g(2)g(1)<0 όπως ακριβώς ανεφέρουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. Επίσης όταν θεώρησα την συνάρτηση δεν έγραψα το διάστημα στο οποίο την θεωρώ. Πόσο θα μου κοστίσει αυτή η επιπολαιότητα; Ευχαριστώ για την κατανόησή σας.
Συνεχίστε την καλή δουλειά!

[polydeykhs]

Συνάδελφοι
νομίζω ότι η μονοτονία δεν είναι υποχρεωτικό να αναφερθεί
Η συνέχεια της συνάρτησης και τα όρια δίνουν (ένα) διάστημα στο οποίο βρίσκονται οι τιμές της συνάρτησης (όχι κατ΄αναγκη το σύνολο τιμών αλλά υποσύνολό του). Στη συγκεκριμένη περίπτωση επειδή το διάστημα που προκύπτει είναι το R είναι και το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Δ. Γιαννόπουλος

Δημήτρη μ αρέσει η συλλογιστική σου και ξέρεις πόσο σε εκτιμώ.
Αλλά νομίζω ότι ήδη αυτό που είπες είναι ήδη μια απόδειξη και μάλιστα αρκετά έξυπνη δεν ξέρω όμως πόσο έγκυρη.Η μονοτονία προφανώς και δε χρειάζεται.
Κάθε πολυώνυμο π.χ. περιττού βαθμού ανεξαρτήτως μονοτονίας επειδή έχει όρια τα ετερώνυμα άπειρα έχει σύνολο τιμών το R. Αν θυμάσαι παίρναμε όταν το είχαμε διδακτέα εφαρμογή στις δέσμες θεώρημα bolzano κλπ. όπως το περιγράφει ένας συνάδελφος πιο πριν νομίζω ο Μαυρογιάννης.
Με ανάλογο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι όχι μόνο το 0 αλλά οποιοσδήποτε αριθμός είναι τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης με όρια -00 και +00 αντίστοιχα στα άκρα του π.ο. της.
Το ερώτημα είναι αν φθάνουν τα 2 άπειρα όρια χωρίς άλλη περαιτέρω δικαιολόγηση.Ουσιαστικά χωρίς την επίκληση του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών.Το επιχείρημά σου (λέγε με απόδειξη) είναι όντως πολύ λεπτό και έξυπνο.
Τένις Δευτέρα και Πέμπτη.
Έχεις πάρει πολλές απουσίες.

[polydeykhs]

Ξέρω ότι ψάχνω ψίλους στα άχυρα αλλά λόγω αγωνίας για το καλύτερο αποτέλεσμα θέλω να ρωτήσω κάτι σαν μαθητής. Στο θέμα 3γ, όταν ανέφερα τις προϋποθέσεις του Bolzano, εγραψα ότι g(1)<0 και g(2)>0. Δεν έγραψα όμως συγκεκριμένα ότι g(2)g(1)<0 όπως ακριβώς ανεφέρουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. Επίσης όταν θεώρησα την συνάρτηση δεν έγραψα το διάστημα στο οποίο την θεωρώ. Πόσο θα μου κοστίσει αυτή η επιπολαιότητα; Ευχαριστώ για την κατανόησή σας.
Συνεχίστε την καλή δουλειά!

Σε τέτοια θέματα που δεν είναι και τόσο ουσιαστικά παίζει ρόλο (τουλάχιστον για μένα, αλλά και για όλους τους ευσυνείδητους συναδέλφους που νάσαι σίγουρος είναι οι περισσότεροι) η γενική εικόνα του γραπτού.Δεν ψάχνουν να κόψουν μονάδες.Κάθε γραπτό απεικονίζει αρκετά ξεκάθαρα και τη μαθηματική παιδεία του μαθητή.Έτσι αν είναι μόνο αυτή η παράλειψή σου δε νομίζω ότι θάχεις επιπτώσεις.Το διάστημα πάντως έπρεπε να το αναφέρεις.Όταν ορίζεις μια συνάρτηση πρέπει και να δώσεις και το πεδίο ορισμού.
Στα άλλα τι έκανες;
Δεν τα αφήνεις όλα αυτά προς το παρόν να κοιτάξεις τα υπόλοιπα μαθήματα;

[dimgiann]

Αποστόλη ετσι είναι τα πράγματα προσπάθησα για μία πολύ σύντομη, αλλά με ελλείψεις ομολογώ απόδειξη ή καλύτερα δικαιολόγηση, βασισμένος στην παρουσίαση του οριου στο άπειρο (σχολικό σελ. 176-177) όπου λέει ότι "όταν το όριο είναι +00, οι τιμές της συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από κάθε θετικό αριθμό Μ κλπ..." άρα παίρνει θετικές τιμές και αντίστοιχα για τό όριο στο πλήν άπειρο.
Συμφωνώ με την αυστηρή αντιμετώπιση του κ. Μαυρογιάννη για την συγκεκριμένη άσκηση καθώς και με την άποψη για το κενό του σχολικού που είμαστε αναγκασμένοι να το καλύπτουμε με άλλους τρόπους, δημιουργώντας μικρές διαφωνίες.
Σε κάθε περίπτωση χρειάζεται προσοχή και λεπτούς χειρισμούς
Για το τένις ελπίζω σε καλύτερες αγωνιστικές ημέρες