Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Euler · #41

Η ύπαρξη των δυο ριζών στο ερώτημα Γ3 μπορεί να προκύψει και από το θεώρημα Bolzano στα διαστήματα [-2, 1], [1, 2]

για τη συνάρτηση $g\left( x \right) = 2e^x - xe^x - 1$

Θανάσης Νικολόπουλος · #42

Euler έγραψε:Η ύπαρξη των δυο ριζών στο ερώτημα Γ3 μπορεί να προκύψει και από το θεώρημα Bolzano στα διαστήματα [-2, 1], [1, 2]
για τη συνάρτηση $g\left( x \right) = 2e^x - xe^x - 1$

Πολύ σωστά, το ανέφερα κι εγώ και μάλιστα έκανα και τις σύντομες πράξεις, μπορείς να το επαληθεύσεις σε προηγούμενο post.

Ωραία λύση παρεπιπτόντως, ε; Για όποιον ήθελε να αποφύγει υπολογισμούς ορίων και συνόλων τιμών και να ξεμπερδέψει λίγο ταχύτερα... Και χωρίς δυσκολία στην επιλογή των κατάλληλων τιμών για άκρα διαστημάτων, ο τύπος της συνάρτησης περίπου οδηγεί την επιλογή μας...

#43

Α)
Βρίσκω ότι η βασική ιδέα του Δ1 (και κατά την γνώμη μου η μόνη, ίσως, ενδιαφέρουσα των θεμάτων) είναι η ακόλουθη:
Αν ισχύει $f\left( x\right) =p-\int_{0}^{-x}\frac{\varphi \left( x+t\right) }{g\left( x+t\right) }dt$ και $g\left( x\right) =p-\int_{0}^{-x}\frac{\varphi \left( x+t\right) }{f\left( x+t\right) }dt$ τότε είναι $f\left( x\right) =g\left( x\right)$ και $\left( f^{2}\left( x\right) \right) ^{\prime }=2\varphi \left( x\right)$ . Στο θέμα ήταν p=1

και $\varphi \left( x\right) =e^{2x}$ .

Β)

G.Tsikaloudakis έγραψε:Καλησπέρα . Μια Γεωμετρική Λύση για το Β4 (Τα σχόλια μου για τα ΄ΘΕΜΑΤΑ, αργότερα)
Αν Μ(z) , N(w) οι εικόνες των z, w αντίστοιχα, τότε έχουμε:

$M(x,y){\rm{ }}{\rm{, N(2x}}{\rm{,0)}}$
Επομένως το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ισοσκελές , με ΟΜ=ΜΝ (αφού η διάμεσος του είναι κά ύψος) .
Όμως:
$OM = MN{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}|z|{\rm{ }} = {\rm{ }}|w - z|$

( από το σχήμα είναι πολύ εύκολο να το δούμε)

Με την ευκαιρία ας παραθέσω και ένα σχήμα στην ωραία λύση του Γιώργου Τσικαλουδάκη (μας την έδειξε χθες το πρωϊ στο 38ο Βαθμολογικό όταν λύναμε τα θέματα)

: B4.png (52.65 KiB) Προβλήθηκε 4183 φορές

Το σχήμα έγινε στην Geogebra: To σημείο

είσηχθη πάνω στον κύκλο και του αποδόθηκαν ιδιότητες μιγαδικού. Ο

εισήχθη ως $w=z-3i+\frac{1}{z-3i}$ και η έντονη μάυρη γραμμή στον άξονα x'x

είναι ο γεωμετρικός τόπος του

όπως τον "βρήκε" Geogebra με το εργαλείο "Γεωμετρικός Τόπος".
Μαυρογιάννης

Θανάσης Νικολόπουλος · #44

Θανάσης Νικολόπουλος έγραψε: ...
ΥΓ: Δεν έχει γραφτεί ως τώρα κι έτσι το προσθέτω στις ιδέες για τη λύση της άσκησης Γ3. Ψάχνοντας για τα δύο σημεία καμπής ακριβώς, θέλουμε να εφαρμόσουμε Θ.Bolzano σε δύο διαστήματα, ή να βρούμε 2 επιμέρους σύνολα τιμών που να περιέχει καθένα το 0. Αυτό με τα σύνολα τιμών γράφτηκε ήδη παραπάνω...

Να πως θα λυνόταν με Θ.Bolzano για την

ισχύουν

και το σημαντικότερο: που βγαίνει αρνητικό, αφού (πράγματι ισοδύναμα γράφεται ή που ισχύει)

άρα εφαρμόζεται Θ. Bοlzano σε καθένα από τα διαστήματα [-2,1] και [1,2] κλπ

το παραθέτω γιατί δεν είναι ανάγκη να κάθονται οι φίλοι να ψάχνουν που ακριβώς είχε γραφτεί...

αν και η αναφορά των διαστημάτων αρκεί, καθώς οι πράξεις είναι σαφώς εύκολες να γίνουν ακόμα και χωρίς χαρτί

michelm · #45

Γειά σας. Έχω πολύ καιρό να στείλω μήνυμα χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν παρακολουθώ το σημαντικό έργο που συντελείται στο mathematica.
Αφορμή για την παρέμβασή μου είναι ένα θέμα που με απασχολεί παρατηρώντας το διαγώνισμα κατεύθυνσης. Τα ερωτήματα Δ1 (το μισό) και Δ4 χαρακτηρίζονται ως τα ερωτήματα που θα ξεχωρίσουν τον πολύ καλό από τον άριστο. Εδώ ακριβώς εγείρεται το θέμα: για να υπηρετήσουν το στόχο αυτό τα εν λόγω ερωτήματα θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από πρωτοτυπία κ να απαιτούν μια «νέα» ενέργεια εκ μέρους του λύτη και όχι ανάκληση συγκεκριμένης μεθοδολογίας. ¨Όμως και τα δυο δεν έχουν αυτό το χαρακτηριστικό αφού:
► το Δ1 λύνεται με συγκεκριμένη μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: πολλές φορές για να αποδείξουμε ότι f=g βολεύει να αποδείξουμε ότι η f-g είναι η μηδενική ή ότι η f/g είναι η μοναδιαία).
►το Δ4 υπακούει σε ακόμη πιο κλασσική μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: αν σας βάλουν να υπολογίσετε ολοκλήρωμα ολοκληρώματος, τότε είναι πολύ πιθανό να γίνεται με παραγοντική γράφοντας (x)΄=1 ώστε να φύγει το μέσα ολοκλήρωμα). Χαρακτηριστικά, όπως συνάγεται από συζητήσεις με μαθητές μου είναι σίγουρο ότι οι περισσότεροι δεν θα έλυναν το Δ4 αν δεν το είχαμε επαναλάβει την προηγούμενη μέρα.
Αντίστοιχες παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε για τα θέματα Δ4 του 2010, 4α του 2008, 3α του 2006 κ.λπ.
Καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές και συναδέλφους

#46

michelm έγραψε:Γειά σας. Έχω πολύ καιρό να στείλω μήνυμα χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν παρακολουθώ το σημαντικό έργο που συντελείται στο mathematica.
Αφορμή για την παρέμβασή μου είναι ένα θέμα που με απασχολεί παρατηρώντας το διαγώνισμα κατεύθυνσης. Τα ερωτήματα Δ1 (το μισό) και Δ4 χαρακτηρίζονται ως τα ερωτήματα που θα ξεχωρίσουν τον πολύ καλό από τον άριστο. Εδώ ακριβώς εγείρεται το θέμα: για να υπηρετήσουν το στόχο αυτό τα εν λόγω ερωτήματα θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από πρωτοτυπία κ να απαιτούν μια «νέα» ενέργεια εκ μέρους του λύτη και όχι ανάκληση συγκεκριμένης μεθοδολογίας. ¨Όμως και τα δυο δεν έχουν αυτό το χαρακτηριστικό αφού:
► το Δ1 λύνεται με συγκεκριμένη μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: πολλές φορές για να αποδείξουμε ότι f=g βολεύει να αποδείξουμε ότι η f-g είναι η μηδενική ή ότι η f/g είναι η μοναδιαία).
►το Δ4 υπακούει σε ακόμη πιο κλασσική μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: αν σας βάλουν να υπολογίσετε ολοκλήρωμα ολοκληρώματος, τότε είναι πολύ πιθανό να γίνεται με παραγοντική γράφοντας (x)΄=1 ώστε να φύγει το μέσα ολοκλήρωμα). Χαρακτηριστικά, όπως συνάγεται από συζητήσεις με μαθητές μου είναι σίγουρο ότι οι περισσότεροι δεν θα έλυναν το Δ4 αν δεν το είχαμε επαναλάβει την προηγούμενη μέρα.
Αντίστοιχες παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε για τα θέματα Δ4 του 2010, 4α του 2008, 3α του 2006 κ.λπ.
Καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές και συναδέλφους

Νομίζω πως και το Γ θεματάκι βοηθάει στο να ξεχωρίσουν κάποιοι από κάποιους.
Θεωρώ ότι ήταν απαιτητικό,κυρίως στη δικαιολόγηση του.

Christos75 · #47

Euler έγραψε:Η ύπαρξη των δυο ριζών στο ερώτημα Γ3 μπορεί να προκύψει και από το θεώρημα Bolzano στα διαστήματα
για τη συνάρτηση $g\left( x \right) = 2e^x - xe^x - 1$

Αυτή τη λύση έδωσα και εγώ όταν έλυσα τα θέματα! Τα εν λόγω διαστήματα χρησιμοποίησα
και βεβαίως αμέσως μετά πήρα και την μονοτονία της εν λόγω συνάρτησης για να αποδείξω και
την μοναδικότητα των δύο λύσεων αυτών και κατά συνέπεια την μοναδικότητα των δύο αυτών
σημείων καμπής!!! Είναι σημαντικό αυτό να το αναφέρουμε διότι η εκφώνηση έγραφε για ακριβώς
δύο σημεία καμπής, με τον Bolzano εξασφαλίζαμε ένα τουλάχιστον σε κάθε διάστημα! Η μονοτονία
της άνωθεν συνάρτησης μας έβγαζε από αυτές δυσκολίες!!! Νομίζω και εγώ ότι αυτό ήταν πιο σύντομο
και σου εξασφάλιζε λίγο χρόνο που θα σου χρειαζότανε οπωσδήποτε στα επόμενα ερωτήματα που θα
ακολουθούσαν την ροή των απαντήσεων που θα έδινε κάποιος υποψήφιος! Οφείλω να τονίσω όμως
ότι δεν διέκρινες εύκολα τα υποδιαστήματα που έπρεπε να κινηθείς για να εφαρμόσεις Bolzano αλλά
έφτανες ως εκεί και έπαιζες λίγο με τις τιμές τις συνάρτησης, ενδεχομένως να τα έβρισκες...!

chris_gatos έγραψε:
michelm έγραψε: Νομίζω πως και το Γ θεματάκι βοηθάει στο να ξεχωρίσουν κάποιοι από κάποιους.
Θεωρώ ότι ήταν απαιτητικό,κυρίως στη δικαιολόγηση του.

Συντάσσομαι πλήρως με την άποψη-θέση σου! Τόσο το Γ1 όσο και το Γ3 ήταν
ιδιαιτέρως αξιόλογα θέματα!

Μπορούσε ένα παιδί διαβάζοντας το σχολικό βιβλίο και μη πηγαίνοντας φροντιστήριο να γραψει ένα αξιοπρεπή βαθμο?Ας αποφασίσουμε οι εξετάσεις είναι για όλουσ ή όχι.

Θα συμφωνήσω και εγώ, ένας υποψήφιος που απλά συμβουλευόταν το σχολικό βιβλίο ή από μόνος του προσπαθούσε
δεν θα μπορούσε επουδενί ή για να μην είμαι απόλυτος πολύ δύσκολα να διαπραγματευτεί τέτοιο υποερώτημα! Αυτό
όμως δεν συνέβαινε και με τις δέσμες ? ? ? Είμαι και εγώ παιδί των δεσμών όπως πολλοί φίλοι και νυν συνάδελφοι.
Έχουμε βιώσει και εμείς τον Λίβανο των πανελλαδικών. Δεν θέλω να επαναφέρω μνήμες που τότε ούτε 2,5 μονάδες από τις
20 που είχαν τα θέματα δεν ήταν η θεωρία...το θυμάται κανείς άραγε ? ? ?Η δυσκολία των θεμάτων ήταν άτακτα διασπαρμένη
μέσα στα θέματα και αν «σκόνταφτες» κάπου και κολλούσες, αντίο Μαθηματικά!!!!Έπρεπε εκτός από καλός λύτης και διαβασμένος μαθητής
να ήσουν και πολύ καλός στην διαχείριση χρόνου!!!Χαρακτηριστικά θυμάμαι ότι εγώ ξεκίνησα να λύνω από το Ζήτημα 3ο και μετά 4ο και μετά ό,τι μου έβγαινε πιο γρήγορα! Τουλάχιστον τώρα υπάρχει μία δομή,, λες ξεκινώ με το 5 και προχωρώ γνωρίζοντας ότι η δυσκολία ανεβαίνει από το Θέμα Β στο Γ και εν συνεχεία στο Δ!!!
Δεν αποτελεί αυτό άλλοθι βεβαίως αλλά...κάπως βρε παιδιά-συνάδελφοι δεν πρέπει να γίνει ο διαχωρισμός των υποψηφίων ? Με το να γράφει η πλειοψηφία από 90 ως 100 δεν νομίζω ότι αυτοί οι καλλίτεροι είναι οι επί της ουσίας καλλίτεροι...προσωπική γνώμη πάντα εκφράζω και ας μου επιτραπεί να το κάνω σεβόμενος πάντα τις όποιες δυσκολίες του μαθήματος και τις προσπάθειες καθώς και τα έξοδα που έχουν δαπανηθεί από κάποια οικογένεια επενδύοντας στον ανωτέρω στόχο...

Με σεβασμό
Χρήστος Λοΐζος
MSc Μαθηματικός

michelm · #48

chris_gatos έγραψε:
michelm έγραψε:Γειά σας. Έχω πολύ καιρό να στείλω μήνυμα χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν παρακολουθώ το σημαντικό έργο που συντελείται στο mathematica.
Αφορμή για την παρέμβασή μου είναι ένα θέμα που με απασχολεί παρατηρώντας το διαγώνισμα κατεύθυνσης. Τα ερωτήματα Δ1 (το μισό) και Δ4 χαρακτηρίζονται ως τα ερωτήματα που θα ξεχωρίσουν τον πολύ καλό από τον άριστο. Εδώ ακριβώς εγείρεται το θέμα: για να υπηρετήσουν το στόχο αυτό τα εν λόγω ερωτήματα θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από πρωτοτυπία κ να απαιτούν μια «νέα» ενέργεια εκ μέρους του λύτη και όχι ανάκληση συγκεκριμένης μεθοδολογίας. ¨Όμως και τα δυο δεν έχουν αυτό το χαρακτηριστικό αφού:
► το Δ1 λύνεται με συγκεκριμένη μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: πολλές φορές για να αποδείξουμε ότι f=g βολεύει να αποδείξουμε ότι η f-g είναι η μηδενική ή ότι η f/g είναι η μοναδιαία).
►το Δ4 υπακούει σε ακόμη πιο κλασσική μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: αν σας βάλουν να υπολογίσετε ολοκλήρωμα ολοκληρώματος, τότε είναι πολύ πιθανό να γίνεται με παραγοντική γράφοντας (x)΄=1 ώστε να φύγει το μέσα ολοκλήρωμα). Χαρακτηριστικά, όπως συνάγεται από συζητήσεις με μαθητές μου είναι σίγουρο ότι οι περισσότεροι δεν θα έλυναν το Δ4 αν δεν το είχαμε επαναλάβει την προηγούμενη μέρα.
Αντίστοιχες παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε για τα θέματα Δ4 του 2010, 4α του 2008, 3α του 2006 κ.λπ.
Καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές και συναδέλφους

Νομίζω πως και το Γ θεματάκι βοηθάει στο να ξεχωρίσουν κάποιοι από κάποιους.
Θεωρώ ότι ήταν απαιτητικό,κυρίως στη δικαιολόγηση του.

Σσυμφωνώ απόλυτα. το θέμα Γ υπηρετεί το στόχο της διάκρισης χωρίς να βασίζεται σε ειδικό τέχνασμα που ίσως κάποιος να το θυμάται ίσως όχι σε αντίθεση με το μισό Δ1 και το Δ4 όπως είπα πριν.
Και πόλι καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές και τους συναδέλφους

lamkos · #49

Διάβασα όλες τις απαντήσεις στο θέμα και δεν πήρε το μάτι μου να έχει αναφερθεί ότι το Δ4 υπάρχει (λυμένο μάλιστα) στη σελίδα 578 (άσκηση 16.4) του βιβλίου του κ. Μπάμπη Στεργίου (Μαθηματικά Γ' Λυκείου Παράγωγος Ολοκλήρωμα 2ο τεύχος).

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #50

έχει αναφερθει

kost65 έγραψε:Το θέμα Δ4 ήταν γνωστό απο καιρό στη βιβλιογραφία.
Υπάρχει και στο βιβλίο (το μωβ) του οποίου ενας εκ των τριών συγγραφέων είναι και ο αγαπητός Μπάμπης. Ειναι λυμένο σελ. 578 , το θέμα 16.4.

Καλή ξεκούραση σε όλους
Αθανασιάδης Κώστας

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #51

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:έχει αναφερθει

kost65 έγραψε:Το θέμα Δ4 ήταν γνωστό απο καιρό στη βιβλιογραφία.
Υπάρχει και στο βιβλίο (το μωβ) του οποίου ενας εκ των τριών συγγραφέων είναι και ο αγαπητός Μπάμπης. Ειναι λυμένο σελ. 578 , το θέμα 16.4.

Καλή ξεκούραση σε όλους
Αθανασιάδης Κώστας

Καλησπέρα σε όλους σας.

Αν δείτε στο post viewtopic.php?f=55&t=6522&p=36799#p36799

σε διαγώνισμα του Χρήστου Καρδάση υπάρχει το φετεινό θέμα Δ4.

Μάλιστα το θέμα αυτό έχει και μια μικρή ιστορία, που ο Χρήστος την ξέρει, όπου τουλάχιστον ο μαθητής μου Απόστολος και ένα τμήμα ολόκληρο οφείλουν πολλά στον εκλεκτό μας φίλο και εξαίρετο άνθρωπο και συνάδελφο, Χρήστο.
Χρήστο για να χαρείς, σου μεταφέρω τις ευχαριστίες τουλάχιστον τριών μαθητών μου που τους βοήθησες από τη μακρινή Καβάλλα. Να είσαι καλά,
Θωμάς

#52

Ας δούμε τα εξής, ενδιαφέροντα από βαθμολογική άποψη:

1. Στο θέμα Δ, μαθητής αποδεικνύει το ερώτημα Δ2, χωρίς χρήση του Δ1, (υπάρχει τέτοια απόδειξη - το περιστατικό είναι πραγματικό) και στην συνέχεια έχει σαν άμεση συνέπεια την απόδειξη του Δ1.

Πως θα βαθμολογηθεί;

2. Στο θέμα Δ, μαθητής αποδεικνύει το ερώτημα Δ2, χωρίς χρήση του Δ1, έχοντας κάνει λάθη (το περιστατικό είναι πραγματικό), και στην συνέχεια έχει σαν άμεση συνέπεια την απόδειξη του Δ1.

Πως θα βαθμολογηθεί;

3. Στο θέμα Δ, μαθητής ζαβολιάρης, που εμείς δεν ξέρουμε ότι είναι τέτοιος και ωφείλουμε να μη σκεφτούμε τέτοιο πράγμα, προσπαθεί να αποδείξει το ερώτημα Δ2, χωρίς χρήση του Δ1, αλλά δεν του κάθεται η απόδειξη, και στην συνέχεια εκλαμβάνοντας ως αποδειχθέν το Δ2 έχει σαν άμεση συνέπεια την απόδειξη του Δ1.

Πως θα βαθμολογηθεί;

----------------------------
EDIT.
Γράφω την λύση, μιας και μου ζητήθηκε. Αποδεικνύουμε κατά τα γνωστά:

$g'(x)=\frac{e^{2x}}{f(x)}, f'(x)=\frac{e^{2x}}{g(x)}$

Aπό εδώ προκύπτει, ότι οι παράγωγοι των συναρτήσεων δεν μηδενίζονται (εύκολο), και παραγωγίζονται (εύκολο). Τότε:

$f(x)=\frac{e^{2x}}{g'(x)}\Rightarrow f'(x)=\frac{2e^{2x}g(x)-e^{2x}g'(x)}{[g'(x)]^2}$

οπότε

$\frac{e^{2x}}{g(x)}=\frac{2e^{2x}g(x)-e^{2x}g'(x)}{[g'(x)]^2}\Rightarrow[g'(x)]^2= 2g(x)g'(x)-g(x)g''(x)$

$\Rightarrow [g'(x)]^2+g(x)g''(x)= 2g(x)g'(x)$

$\Rightarrow [g(x)g'(x)]'=[g^2(x)]'\Rightarrow g(x)g'(x)=g^2(x)+c$

Τώρα, για x= 0, η σταθερά βγαίνει μηδέν (εύκολο) και στη συνέχεια το g(x), ως θετικό, διαγράφεται:

$g'(x)=g(x)\Rightarrow g(x)=c'e^x$

Για x=0 και η νέα στεθερά βγαίνει ένα, οπότε g(x)=e^x

. Ομοίως,

κ.λπ.

Μάκης Χατζόπουλος · #53

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: Καλησπέρα σε όλους σας.

Αν δείτε στο post viewtopic.php?f=55&t=6522&p=36799#p36799

σε διαγώνισμα του Χρήστου Καρδάση υπάρχει το φετεινό θέμα Δ4.

Μάλιστα το θέμα αυτό έχει και μια μικρή ιστορία, που ο Χρήστος την ξέρει, όπου τουλάχιστον ο μαθητής μου Απόστολος και ένα τμήμα ολόκληρο οφείλουν πολλά στον εκλεκτό μας φίλο και εξαίρετο άνθρωπο και συνάδελφο, Χρήστο.
Χρήστο για να χαρείς, σου μεταφέρω τις ευχαριστίες τουλάχιστον τριών μαθητών μου που τους βοήθησες από τη μακρινή Καβάλλα. Να είσαι καλά,
Θωμάς

Θωμά εγώ του τα έλεγα πριν τα δω αναρτημένα!!! Χρήστο ευχαριστώ!

Μην ξεχνάμε όμως και αυτό viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200 ή αυτό viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200 που το ερώτημα (γ) ( $\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty} f(x)$ ) θα το δούμε σίγουρα στις επόμενες εξετάσεις !!!

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Χρήστο όλα τα διαγωνίσματα σου μου αρέσουν, είναι πλήρης και εφάμιλλα με το πνεύμα το εξετάσεων, τα κρατάω σε ένα φάκελο με το όνομά σου!

#54

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: Καλησπέρα σε όλους σας.

Αν δείτε στο post viewtopic.php?f=55&t=6522&p=36799#p36799

σε διαγώνισμα του Χρήστου Καρδάση υπάρχει το φετεινό θέμα Δ4.

Μάλιστα το θέμα αυτό έχει και μια μικρή ιστορία, που ο Χρήστος την ξέρει, όπου τουλάχιστον ο μαθητής μου Απόστολος και ένα τμήμα ολόκληρο οφείλουν πολλά στον εκλεκτό μας φίλο και εξαίρετο άνθρωπο και συνάδελφο, Χρήστο.
Χρήστο για να χαρείς, σου μεταφέρω τις ευχαριστίες τουλάχιστον τριών μαθητών μου που τους βοήθησες από τη μακρινή Καβάλλα. Να είσαι καλά,
Θωμάς
Θωμά εγώ του τα έλεγα πριν τα δω αναρτημένα!!! Χρήστο ευχαριστώ!

Μην ξεχνάμε όμως και αυτό viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200 ή αυτό viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200 που το ερώτημα (γ) ( $\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty} f(x)$ ) θα το δούμε σίγουρα στις επόμενες εξετάσεις !!!

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Χρήστο όλα τα διαγωνίσματα σου μου αρέσουν, είναι πλήρης και εφάμιλλα με το πνεύμα το εξετάσεων, τα κρατάω σε ένα φάκελο με το όνομά σου!

Παιδιά όποιος δίδαξε εμβαδά,παραγοντική ολοκλήρωση και τη συνάρτηση ολοκλήρωμα,βοήθησε τους μαθητές του.
Όντως τα διαγωνίσματα του Χρήστου είναι πάρα πολύ ωραία.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #55

Ευκαιρία να επισημάνω μία διόρθωση στις λύσεις μου στο διαγώνισμα στο post
viewtopic.php?f=55&t=6522&p=36799#p36799

Στο 4d ( νεκροκεφαλή ) πρέπει να χρησιμοποιήσουμε εφαπτομένη στο 0 λόγω της διαφορετικής κυρτότητας για x>0 .

Το ίδιο 4ο θέμα το έβαλα και το 2010 (υπάρχει αναρτημένο) στο mathematica αλλά το άλλαξα φέτος

#56

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε: Το ίδιο 4ο θέμα το έβαλα και το 2010 (υπάρχει αναρτημένο) στο mathematica

... πολλά

στο Χρήστο

... συνέχισε να έχεις ωραίες εμπνεύσεις

kalafatis_kon · #57

Συνάδελφοι θα κάνω ένα απλό ερώτημα, ειπώθηκε ότι τα θέματα κάλυπταν όλη την ύλη
της κατεύθυνσης της Γ΄ λυκείου και ρωτώ που μαθαίνουν οι μαθητές ότι υπάρχουν
ολοκληρώματα που δεν υπολογίζονται όπως ήταν το συγκεκριμένο που δινόνταν με την αρχική συνάρτηση F(χ) στο τέταρτο θέμα; Εγώ έφτασα να το μάθω αυτό σε μεταπτυχιακό μάθημα....
Ένας μαθητής που θα έκανε φιλότιμες προσπάθειες με τις γνωστές μεθόδους ολοκλήρωσης να υπολογίσει το ολοκλήρωμα αυτό και έχασε πολύτιμο χρόνο, που
θα βρεί το δίκιο του; Αυτό έχει διδαχθεί να υπολογίζει με κάποιες μεθόδους ολοκληρώματα όχι με τεχνάσματα να βρίσκει εμβαδά για ολοκληρώματα που δεν υπολογίζονται (χωρίς έστω να γνωρίζει με κάποιο τρόπο ότι το ολοκλήρωμα αυτό δεν υπολογίζεται).
Και στο τέλος που εξετάζεται η ικανότητα αν κάποιος ξέρει να ολοκληρώνει;
Και σε καμία περίπτωση δεν υποστηρίζω ότι τα θέματα των εξετάσεων πρέπει να είναι μασημένη τροφή χωρίς έμπνευση και πρωτοτυπία
Και για να πώ και γω μια άποψη...
Πρέπει να ξεφύγουμε απο την λογική σε μια περιορισμένη ύλη να βρίσκουμε τεχνάσματα και κολπάκια για να ξεχωρίσουμε τους καλούς απο τους καλύτερους και ποιός συνάδελφος φροντιστής ή όχι τα έχει διδάξει αυτά και πόσο έχει πληρωθεί για αυτό.
Δόξα το θεό η επιστήμη μας είναι άπειρη και έχει τόσο πολλά και όμορφα (Γωμετρία) που είναι κρίμα να αναλωνόμαστε σε τόσο στενά πλαίσια.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #58

Φωτεινή έγραψε: στο Χρήστο

... συνέχισε να έχεις ωραίες εμπνεύσεις

Φωτεινή η συγκεκριμένη άσκηση προέκυψε από συνδυασμό δύο ή τριών ( δε θυμάμαι σίγουρα ) ασκήσεων , από τα επαναληπτικά θέματα του Μπαιλάκη και νομίζω και από βιβλίο του Μπάμπη Στεργίου .
Μακάρι να ήταν έμπνευση

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #59

kalafatis_kon έγραψε:
Πρέπει να ξεφύγουμε απο την λογική σε μια περιορισμένη ύλη να βρίσκουμε τεχνάσματα και κολπάκια για να ξεχωρίσουμε τους καλούς απο τους καλύτερους και ποιός συνάδελφος φροντιστής ή όχι τα έχει διδάξει αυτά και πόσο έχει πληρωθεί για αυτό.

Προσωπικά φίλε μου δεν θα άλλαζα την αναγνώριση από καταξιωμένους συναδέλφους ( έστω και για ένα εύστοχο διαγώνισμα ) για οποιαδήποτε πληρωμή ώρας .

userresu · #60

Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Μέλη σε σύνδεση