ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. α) Τρίγωνο με μήκη πλευρών $\displaystyle{\alpha=2k-1, \beta=2k, \gamma=2k+1}$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{E=\frac{1}{4}(k-1)k(k+1)}$ . Ζητείται το μήκος του $\displaystyle{k}$ .

β) Απλοποιήστε την παράσταση $\displaystyle{\sqrt[3]{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}}$ όπου $\alpha=3(3-x^3) ,\beta=x(3^2+x^3),\gamma=x(3^2-x^3)$ .

2. Να λύσετε το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy^2+y=3 \\ y^2+yx^2+x=3 \end{array} \right.$ εαν
α) $\displaystyle{x\ne y}$
β) $\displaystyle{x=y}$ έχοντας υπόψη ότι υπάρχει η λύση $\displaystyle{x=y=1}$

3. Να δείξετε οτι για να είναι δυνατή η επίλυση των εξισώσεων $\begin{array}{l} \delta x_1=\gamma y_2-\beta z_2 \\ \delta y_1=\alpha z_2-\gamma x_2 \\ \delta z_1=\beta x_2-\alpha y_2 \end{array} \right.$ και $\begin{array}{l} \delta x_2=\gamma y_1-\beta z_1 \\ \delta y_2=\alpha z_1-\gamma x_1 \\ \delta z_2=\beta x_1-\alpha y_1 \end{array} \right.$

όταν ούτε ο $\displaystyle{\delta}$ ούτε όλοι οι αριθμοί $\displaystyle{x_1,y_1,x_2,y_2,z_2}$ να ισούνται με $\displaystyle{0}$ , πρέπει $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2=0}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε:1. α) Τρίγωνο με μήκη πλευρών $\displaystyle{\alpha=2k-1, \beta=2k, \gamma=2k+1}$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{E=\frac{1}{4}(k-1)k(k+1)}$ . Ζητείται το μήκος του $\displaystyle{k}$ .

Για να είναι τρίγωνο πρέπει $\displaystyle{k>\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{k\ne 1}$ αφού για $\displaystyle{k=1}$ έχουμε μήκη : $\displaystyle{1,2,3}$ που δεν είναι πλευρές τριγώνου.

Υπολογίζουμε την ημιπερίμετρο : $\displaystyle{\tau=\frac{2k-1+2k+2k+1}{2}=3k}$ και $\displaystyle{\tau-a=k+1,\tau-\beta=k,\tau-\gamma=k-1}$ .

Aπό τον τύπο του Ήρωνα έχουμε : $\displaystyle{E=\sqrt{\tau(\tau-a)(\tau-\beta)(\tau-\gamma)}=\sqrt{3k^2(k+1)(k-1)}}$ .

Eπομένως, $\displaystyle{\frac{1}{4}(k-1)k(k+1)=\sqrt{3k^2(k+1)(k-1)}\Leftrightarrow k^2(k+1)^2(k-1)^2=48k^2(k+1)(k-1)\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(k+1)(k-1)=48\Leftrightarrow k^2=49\Leftrightarrow k=7}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 24, 2013 2:53 pm

β) Απλοποιήστε την παράσταση $\displaystyle{\sqrt[3]{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}}$ όπου $\alpha=3(3-x^3) ,\beta=x(3^2+x^3),\gamma=x(3^2-x^3)$ .

Aς λυθεί κι αυτό το σκέλος...
Ίσως κάποιο παιδί εκτιμήσει τον κόπο που κάνω...

$a^{3}=(9-3x^{3})^{3}=9^{3}-3\cdot 9^{2}\cdot 3x^{3}+3\cdot 9\cdot 9x^{6}-27x^{9}= 9^{3}-9^{3} x^{3}+3\cdot 9^{2}x^{6}-27x^{9}$

$\beta ^{3}=\left ( 9x+x^{4} \right )^{3}=9^{3}x^{3}+3\cdot 9^{2}x^{2}\cdot x^{4}+3\cdot 9x\cdot x^{8}+x^{12}= 9^{3}x^{3}+3\cdot 9^{2}x^{6}+3\cdot 9x^{9}+x^{12}$

$\gamma ^{3}=\left ( 9x-x^{4} \right )^{3}=9^{3}x^{3}-3\cdot 9^{2}x^{2}\cdot x^{4}+3\cdot 9x\cdot x^{8}-x^{12}= 9^{3}x^{3}-3\cdot 9^{2}x^{6}+3\cdot 9x^{9}-x^{12}$

Συνεπώς έχουμε ότι
$a^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}=9^{3}+9^{3}x^{3}+3\cdot 9^{2}x^{6}+27x^{9}=27(27+27x^{3}+9x^{6}+x^{9})=3^{3}\left ( 3+x^{3} \right )^{3}$

Έτσι λοιπόν $\displaystyle{\sqrt[3]{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}}=\sqrt[3]{3^{3}\left ( 3+x^{3} \right )^{3}}=3\left ( 3+x^{3} \right )=9+3x^{3}$

Tην εποχή που τέθηκε το θέμα, οι υπόριζες ποσότητες ριζικών περιττής τάξης μπορούσαν να είναι και αρνητικές.
Συνεπώς η ρίζα περιττής τάξης μπορούσε να είναι αρνητική ποσότητα.
Έτσι το είχα διδαχθεί κι εγώ ως μαθητής...

ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση