ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+{\color{red}9}}$ .
Να δειχθεί οτι αυτό για όλες τις πραγματικές τιμές του $\displaystyle{x}$ δεν μπορεί να πάρει αρνητική τιμή.

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x+7}+ \sqrt[3]{x-28}=0}$

3. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0}$ και έστω $\displaystyle{p}$ μια ρίζα της.
Να δειχθεί οτι ο αριθμός $\displaystyle{p+\frac{1}{p} }$ είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{ \alpha \gamma x^2+\beta(\alpha+\gamma)x+\beta^2+(\alpha-\gamma)^2=0}$

4. Κινητό αναχωρεί από την πόλη $\displaystyle{A}$ με διεύθυνση προς την πόλη $\displaystyle{B}$ .
Μετά από

ώρες αναχωρεί άλλο κινητό από την πόλη $\displaystyle{A}$ ,
του οποίου η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από του πρώτου κατά

χιλιόμετρα την ώρα.
Εαν η απόσταση $\displaystyle{AB}$ είναι 720

χιλιόμετρα και τα κινητά φθάνουν συγχρόνως στο

,
να βρεθούν οι ταχύτητες τους.

edit
διόρθωση στο 1ο θέμα, του σταθερού όρου

PanosG · #2

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+1}$ .
Να δειχθεί οτι αυτό για όλες τις πραγματικές τιμές του $\displaystyle{x}$ δεν μπορεί να πάρει αρνητική τιμή.

Το $\displaystyle{f(2)=-7}$ κατι δεν παει καλά.

parmenides51 · #3

έχεις δίκιο, ο σταθερός όρος είναι $\displaystyle{9}$ και όχι $\displaystyle{ 1}$ ,

, το διορθώνω

θενξ

PanosG · #4

parmenides51 έγραψε:

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x+7}+ \sqrt[3]{x-28}=0}$

Θα πρέπει $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x+7=0}$ και $\displaystyle{x-28=0}$ που προφανώς έιναι αδύνατο.
Έκτος αν επιτρέπονται και αρνητικά υπόριζα οπότε το $\displaystyle{x=1}$ είναι λύση.

parmenides51 · #5

επιτρεπόντουσαν αρνητικά υπόρριζα τότε,
γράψτο όμως λίγο πιο αναλυτικά πως το βγάζεις το $\displaystyle{x=1}$

PanosG · #6

parmenides51 έγραψε:επιτρεπόντουσαν αρνητικά υπόρριζα τότε,
γράψτο όμως λίγο πιο αναλυτικά πως το βγάζεις το $\displaystyle{x=1}$

A ok νόμιζα ότι δεν επιτρεπόντουσαν θα το γράψω
Όσο για το 1ο

$\displaystyle{f(x)=(x-1)(x-6)\cdot (x-3)(x-4)+9=(x^2-7x+6)(x^2-7x+12)+9}$
Αν $\displaystyle{y=x^2-7x+6}$ τότε
$\displaystyle{f(x)=y(y+6)+9=y^2+6y+9=(y+3)^2=(x^2-7x+9)^2\geq 0}$

GMANS · #7

Για την 1η

$f(x)=(x^2-7x+6)(x^2-7x+12)+9=(x^2-7x+6)(x^2-7x+6+6)+9=(x^2-7x+6)^2+6(x^2-7x+6)+9= [(x^2-7x+6)+3]^2\geq 0$
ίδια λύση με την παραπάνω !!!

PanosG · #8

parmenides51 έγραψε:
2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x+7}+ \sqrt[3]{x-28}=0}$

Το $\displaystyle{1}$ είναι ρίζα της εξίσωσης και $\displaystyle{\forall x>1}$ είναι
$\displaystyle{\sqrt[3]{x}>1}$
$\displaystyle{x+7>8 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x+7}>2}$
$\displaystyle{x-28>-27 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x-28}>-3}$

Προσθέτοντας έχουμε ότι $\displaystyle{\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x+7}+ \sqrt[3]{x-28}>0}$
Όμοια αν $\displaystyle{\forall x<1}$ $\displaystyle{\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x+7}+ \sqrt[3]{x-28}<0}$
Άρα το

μοναδική ρίζα της εξίσωσης

PanosG · #9

parmenides51 έγραψε:
3. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0}$ και έστω $\displaystyle{p}$ μια ρίζα της.
Να δειχθεί οτι ο αριθμός $\displaystyle{p+\frac{1}{p} }$ είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{ \alpha \gamma x^2+\beta(\alpha+\gamma)x+\beta^2+(\alpha-\gamma)^2=0}$

Αφού $\displaystyle{p}$ ρίζα της εξίσωσης τότε $\displaystyle{ap^2+bp+c=0}$
Αρκεί να δείξουμε ότι
$\displaystyle{ac(p+\frac{1}{p})^2+b(a+c)(p+\frac{1}{p})+b^2+(a-c)^2=0}$ . Είναι:

$\displaystyle{ac(p+\frac{1}{p})^2+b(a+c)(p+\frac{1}{p})+b^2+(a-c)^2=}$
$\displaystyle{=acp^2+\frac{ac}{p^2}+2ac+bap+\frac{ba}{p}+bcp+\frac{bc}{p}+b^2+a^2-2ac+c^2=}$
$\displaystyle{=\frac{acp^4+ac+abp^3+abp+bcp^3+bcp+b^2p^2+a^2p^2+c^2p^2}{p^2}}$
$\displaystyle{=\frac{(ap^2+bp+c)(a+bp+cp^2)}{p^2}=0}$

GMANS · #10

Κάπως διαφορετικά το (2)
$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+7}+\sqrt[3]{x-28}=0\Rightarrow (\sqrt[3]{x})^3+(\sqrt[3]{x+7})^3+(\sqrt[3]{x-28})^3=3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x+7}\sqrt[3]{x-28}\Rightarrow x-7=\sqrt[3]{x(x+7)(x-28)}\Rightarrow x^3-21x^2+147x-7^3=x^3-21x^2-196x\Rightarrow x=1$

που επαληθεύει την αρχική

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Μέλη σε σύνδεση