ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Εαν $\displaystyle{a+b+c=0}$ , να δειχτεί οτι $\displaystyle{A=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)=9}$ .
Υποτίθεται ότι $\displaystyle{ \frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b},\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}>0}$

2. Να βρεθούν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle x+\frac{1}{x}=\alpha \\ \displaystyle \,\, y+\frac{1}{y}=\beta \\ \displaystyle xy+\frac{1}{xy}=\gamma \end{cases}}$ να είναι συμβιβαστό, όταν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ πραγματικοί και $\displaystyle{xy\ne 0}$ .

3. Να αποδείξετε οτι το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle \frac{x}{\alpha}+\frac{z}{\gamma}=\lambda \left(1+\frac{{\color{red}y}}{\beta}\right) \\ \displaystyle \frac{x}{\alpha}+\frac{z}{\gamma}=\mu \left(1-\frac{{\color{red}y}}{\beta}\right) \\ \displaystyle \frac{x}{\alpha}-\frac{z}{\gamma}=\frac{1}{\lambda} \left(1-\frac{{\color{red}y}}{\beta}\right) \\ \displaystyle \frac{x}{\alpha}-\frac{z}{\gamma}=\frac{1}{\mu} \left(1+\frac{{\color{red}y}}{\beta}\right) \end{cases}}$ είναι συμβιβαστό και να προσδιοριστούν τα $\displaystyle{x,y,z}$ .

4. Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της ανίσωσης $\displaystyle{|2x-3|-|x-2|>x-3}$

5. Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{(1-\alpha)x^2-9=0}$ έχει ρίζες πραγματικές όταν $\displaystyle{ 0<\alpha<1}$

edit
διόρθωση στο 3ο, ευχαριστώ τον Γιώργη Καλαθάκη (exdx) που το πρόσεξε

Tolaso J Kos · #2

parmenides51 έγραψε:
4. Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της ανίσωσης $\displaystyle{|2x-3|-|x-2|>x-3}$

5. Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{(1-\alpha)x^2-9=0}$ έχει ρίζες πραγματικές όταν $\displaystyle{ 0<\alpha<1}$

4. Είναι: $\displaystyle{\left | 2x-3 \right |-\left | x-2 \right |>x-3}$ .
Τα απόλυτα μηδενίζονται στο $\displaystyle{x=\frac{3}{2}, \, \, \, x=2}$ αντίστοιχα. Οπότε θα δουλέψουμε στα διαστήματα $\displaystyle{\left ( -\infty ,\frac{3}{2} \right )\cup \left ( \frac{3}{2}, 2 \right )\cup \left ( 2, +\infty \right )}$ και στη συνέχεια θα κοιτάξουμε αν οι ρίζες επαληθεύουν την ανίσωση.

Για $\displaystyle{x<\frac{3}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-3<0 & \\ x-2<0& \end{matrix}\right.}$ συνεπώς η ανίσωση γίνεται: $\displaystyle{-2x+3-(-x+2)>x-3\Leftrightarrow -2x+3+x-2>x-3\Leftrightarrow -2x+1>-3\Leftrightarrow -2x>-4\Leftrightarrow x<2}$ . Επίσης πρέπει να είναι και $\displaystyle{x<\frac{3}{2}}$ κατά συνέπεια είναι $\displaystyle{x<\frac{3}{2}}$ .

Για $\displaystyle{x\in \left ( \frac{3}{2}, 2 \right )}$ είναι $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 2x-3>0 & \\ x-2<0& \end{matrix}\right.}$ συνεπώς είναι: $\displaystyle{2x-3-\left ( -x+2 \right )>x-3\Leftrightarrow 3x-5>x-3\Leftrightarrow 2x>2\Leftrightarrow x>1}$ και επειδή πρέπει $\displaystyle{x\in \left ( \frac{3}{2}, 2 \right )}$ πρέπει τελικά να είναι $\displaystyle{x\in \left ( \frac{3}{2}, 2 \right )}$ .

Για $\displaystyle{x>2}$ είναι $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 2x-3>0 & \\ x-2>0 & \end{matrix}\right.}$ και κατά συνέπεια είναι: $\displaystyle{2x-3-x+2>x-3\Rightarrow 2>0}$ το οποίο ισχύει.

Για $\displaystyle{x=\frac{3}{2}\Rightarrow \left | 2\frac{3}{2}-3 \right |-\left | \frac{2}{3}-2 \right |>x-3\Leftrightarrow 0-\left | -\frac{4}{3} \right |>x-3\Leftrightarrow x-3<-\frac{4}{6}\Leftrightarrow x<3-\frac{14}{6}=\frac{7}{3}}$ ενώ για $\displaystyle{x=2\Rightarrow 1>x-3\Leftrightarrow x<4}$ .

Τέλος συναληθεύουμε όλους τους περιορισμούς και έχουμε πως η δοσμένη ανίσωση ισχύει $\displaystyle{\forall x\in \mathbb{R}}$ .

5. Μετά από λανθασμένη λύση και υπόδειξη, για τη κατανόηση της εκφώνησης την οποία παρερμήνευσα, από τον parmenides51 τον οποίο ευχαριστώ δίνω μία άλλη για την οποία ελπίζω να είμαι σωστός.
Θα δείξω ότι αν $\displaystyle{0<a<1}$ τότε το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες. Πράγματι έχουμε: $\displaystyle{0<a<1\Leftrightarrow 0>-a>-1\Leftrightarrow 1>1-a>0}$ τότε το ελλειπτικό τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta =(-4)\cdot (-9)\cdot (1-a)=36\cdot (1-a)>0}$ εφόσον $\displaystyle{1-a>0}$ το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο.

Τόλης

#3

parmenides51 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 14, 2013 9:35 pm
1. Εαν $\displaystyle{a+b+c=0}$ , να δειχτεί οτι $\displaystyle{A=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)=9}$ .
Υποτίθεται ότι $\displaystyle{ \frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b},\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}>0}$

2. Να βρεθούν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle x+\frac{1}{x}=\alpha \\ \displaystyle \,\, y+\frac{1}{y}=\beta \\ \displaystyle xy+\frac{1}{xy}=\gamma \end{cases}}$ να είναι συμβιβαστό, όταν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ πραγματικοί και $\displaystyle{xy\ne 0}$

Οι ασκησούλες αυτές είναι κατάλληλες και για μαθητές που ασχολούνται με διαγωνισμούς!
Την πρώτη μάλιστα μπορούν να προσπαθήσουν και μαθητές Γυμνασίου!

ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση