Ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» 2022

Al.Koutsouridis · #1

Ολυμπιάδα, τύπου εισαγωγικών εξετάσεων, «Βήμα στο μέλλον» του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου Μόσχας Bauman
Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2022.

1. Οι αριθμοί u, v, w

είναι ρίζες της εξίσωσης x^3-3x-1=0

. Να βρείτε την τιμή της έκφρασης u^9+v^9+w^9

.

2. Σε ένα εργαστήριο υπάρχουν δοκιμαστικοί σωλήνες δυο ειδών (όγκου

και

) συνολικά 100

στον αριθμό, εξάλλου οι δοκιμαστικοί σωλήνες κάθε είδους είναι τουλάχιστον τρεις. Ένας πειραματιστής με την σειρά διαλέγει τυχαία τρεις δοκιμαστικούς σωλήνες και τον πρώτο από αυτούς τον γεμίζει πλήρως με διάλειμμα άλλατος περιεκτικότητας $80 \%$ , τον δεύτερο τον γεμίζει πλήρως με διάλειμμα άλλατος περιεκτικότητας $50 \%$ και τον τρίτο τον γεμίζει πλήρως με διάλειμμα άλλατος περιεκτικότητας $20 \%$ . Ύστερα το περιεχόμενο αυτών των τριών δοκιμαστικών σωλήνων το μεταγγίζει σε ένα δοχείο και υπολογίζει την ποσοστιαία περιεκτικότητα άλλατος σε αυτό. Για ποιο ελάχιστο πλήθος μεγάλων δοκιμαστικών σωλήνων,

γεγονότα "Η ποσοστιαία περιεκτικότητα άλλατος στο δοχείο βρίσκεται στα όρια από $45 \%$ έως $55 \%$ συμπεριλαμβανομένου" θα συμβαίνει ποιο σπάνια από το γεγονός "στην τυχαία ρίψη δυο συμμετρικών νομισμάτων θα έρθει κεφάλι και γράμματα (με οποιαδήποτε σειρά)"; Εξηγήστε την απάντηση.

3. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD

τα μήκη των πλευρών

και

είναι ίσα, το τμήμα

είναι διχοτόμος της γωνίας ADC

και

. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας AKB

, όπου

το σημείο τομής των διαγωνίων

και

.

4. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες το σύστημα

$\left\{\begin{matrix} \left (ay-ax+2 \right) \left ( 4y-3|x-a|-x+5a \right) = 0 , \\ \left ( \log_{a} x^2 +\log_{a} y^2 -2 \right ) \log_{2} a^2=8 \end{matrix}\right.$

έχει έξι διαφορετικές λύσεις.

5. Σφαίρα ακτίνας $\frac{4}{9}$ βρίσκεται στο εσωτερικό κανονικής ορθής τετραγωνικής πυραμίδας SABCD

με μηκος πλευράς βάσης

και ύψους

. Η σφαίρα αυτή εφάπτεται της βάσης ABCD

της πυραμίδας και των παράπλευρων εδρών SBC

και

. Επίπεδο $\gamma$ εφάπτεται της σφαίρας, διέρχεται από το σημείο

, το μέσο

της ακμής

και τέμνει την ακμή

στο σημείο

. Να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας MBCK

.

6. Το έτος 2022 συμπληρώνονται 65 χρόνια από την εκτόξευση του πρώτου τεχνητού δορυφόρου της γης. Σήμερα για την διασφάλιση της αδιάλειπτης λειτουργίας της κυψελωτής τηλεφονίας, τηλεοπτικών και ραδιοφωνικών συστημάτων χρησιμοποιούνται διάφοροι τύποι δορυφόρων, που βρίσκονται σε διαφορετικές τροχιές και ύψη.

Περιοχή κάλυψης ενός δορυφόρου ονομάζουμε το τμήμα της επιφάνειας της γηίνης σφαίρας εντός του οποίου παρέχεται το επίπεδο των σημάτων προς και από τον δορυφόρο, που είναι απαραίτητα για τη λήψη δεδομένης μίας ποιότητας σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Κατά κανόνα, αυτό το τμήμα της επιφάνειας περιορίζεται από ένα κύκλο που διέρχεται κατά μήκος της γραμμής του ορατού ορίζοντα. Στο σχήμα μια γραμμή που διέρχεται από το σημείο $\Gamma$ .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν της γήινης επιφάνειας (σε τετραγωνικά χιλιόμετρα), το οποίο αποτελεί ζώνη κάλυψης ενός δορυφόρου, που βρίσκεται σε ύψος 500

χιλιομέτρων από την επιφάνεια της γής, θεωρώντας ότι είναι σφαίρα ακτίνας R=6400

με κέντρο το σημείο

.

β) Να βρείτε όλες τις τιμές του n >1

, για τις οποίες στην επιφάνεια της γής μπορούμε να τοποθετήσουμε κύκλους $C_{1}, C_{2}, \dots C_{n}$ ο καθένας εκ των οποίων εφάπτεται εξωτερικά κύκλου $C_{0}$ , με κέντρο το σημείο

και ακτίνα r < R

, ο καθένας από αυτόυς αποτελεί το όριο της ζώνης κάλυψης ενός δορυφόρου που βρίσκεται στο ίδιο ύψος

, με τον δορυφόρο με ζώνη κάλυψης $C_{0}$ . Κάθε ζώνη κάλυψης $C_{i}$ πρέπει να εφάπτεται εξωτερικά των κύκλων $C_{0}$ και $C_{i+1}$ , $i=0,1, \ldots n-1$ , δηλαδή ο πρώτος εφάπτεται των $C_{0}$ και $C_{2}$ , ο δεύτερος των $C_{0}$ και $C_{3}$ και τα λοιπά. Ο κύκλος $C_{n}$ πρέπει να εφάπτεται των $C_{0}$ και $C_{1}$ .

: Screen Shot 2022-06-11 at 16.42.48.png (20.08 KiB) Προβλήθηκε 2924 φορές

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 11, 2022 5:11 pm
Ολυμπιάδα, τύπου εισαγωγικών εξετάσεων, «Βήμα στο μέλλον» του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου Μόσχας Bauman
Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2022.

1. Οι αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης . Να βρείτε την τιμή της έκφρασης .

Από Vieta είναι $\displaystyle u + v + w = 0,uv + vw + uw = - 3,uvw = 1,$ απ' όπου έχουμε

$\displaystyle {u^2} + {v^2} + {w^2} = {(u + v + w)^2} - 2(uv + vw + uw) = 6$

Είναι ακόμα $\displaystyle {u^3} + {v^3} + {w^3} = 3(u + v + w) + 3 = 3$

Τέλος, $\displaystyle {u^9} + {v^9} + {w^9} = 27({u^3} + {v^3} + {w^3}) + 27({u^2} + {v^2} + {w^2}) + 9(u + v + w) + 3$

$\displaystyle {u^9} + {v^9} + {w^9} = 27 \cdot 3 + 27 \cdot 6 + 9 \cdot 0 + 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{u^9+v^9+w^9=246}$

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 11, 2022 5:11 pm
Ολυμπιάδα, τύπου εισαγωγικών εξετάσεων, «Βήμα στο μέλλον» του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου Μόσχας Bauman
Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2022.

3. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο τα μήκη των πλευρών και είναι ίσα, το τμήμα είναι διχοτόμος της γωνίας και . Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας , όπου το σημείο τομής των διαγωνίων και και .

Επειδή

και λόγω της διχοτόμου, το ABCD

είναι εγγράψιμο. Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

: Βήμα στο μέλλον-2022.png (17.82 KiB) Προβλήθηκε 2834 φορές

$\displaystyle AK \cdot KC = BK \cdot KD \Leftrightarrow 12{y^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=2y}$ (1)

Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,

άρα η

εφάπτεται στον περίκυκλο του AKD,

οπότε $\displaystyle {b^2} = 4{x^2} \Leftrightarrow b = 2x \Leftrightarrow$ $\boxed{b=4y}$ (2)

Τέλος με νόμο συνημιτόνου στο AKB

και πλευρές 4y, 4y, 2y,

εύκολα παίρνω $\boxed{\cos \theta = \frac{1}{4}}$

Ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» 2022

Ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» 2022

Re: Ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» 2022

Re: Ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» 2022

Μέλη σε σύνδεση