Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2024-25 (1)

Al.Koutsouridis · #1

Πρόβλημα 1. Στο ευκλείδειο επίπεδο με συντεταγμένες x,y

ας είναι

η ευθεία $L:= \left \{ {y=1} \right \}$ , στην οποία σημειώνουμε το σημείο P=(0,1)

. Έστω

ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το (0,0)

. Υποθέτουμε ότι ευθεία

κυλιέται με την φορά του ρολογιού πάνω στον

χωρίς να ολισθαίνει, με τον

να είναι σταθερός. Περιγράψτε την τροχιά του σημειωμένου σημείου σε παραμετρική μορφή $\left ( x(t), y(t) \right)$ .

: Screenshot 2025-06-15 at 14.02.53.png (16.72 KiB) Προβλήθηκε 1644 φορές

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 15, 2025 2:08 pm
Πρόβλημα 1. Στο ευκλείδειο επίπεδο με συντεταγμένες ας είναι η ευθεία $L:= \left \{ {y=1} \right \}$ , στην οποία σημειώνουμε το σημείο . Έστω ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το . Υποθέτουμε ότι ευθεία κυλιέται με την φορά του ρολογιού πάνω στον χωρίς να ολισθαίνει, με τον να είναι σταθερός. Περιγράψτε την τροχιά του σημειωμένου σημείου σε παραμετρική μορφή $\left ( x(t), y(t) \right)$ .

.
Έστω $\widehat BOA=\theta$ (σε ακτίνια), οπότε το μήκος του τόξου

είναι $R\theta$ . Εδώ R=1

, οπότε και το μήκος $AP=1\cdot \theta=\theta$ (όσο το τόξο

).

Έχουμε τώρα $OD=BA-AC=\sin \theta -AP\cos \theta = \sin \theta -\theta \cos \theta$ . Επίσης

$DP=DC+CP=OB+AP\sin \theta = \cos \theta +\theta \cos \theta$

Άρα μία παραμετρική μορφή των συντεταγμένων του

είναι $\boxed {( \sin \theta -\theta \cos \theta, \cos \theta +\theta \cos \theta)}$
.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 15, 2025 2:08 pm
Πρόβλημα 1. Στο ευκλείδειο επίπεδο με συντεταγμένες ας είναι η ευθεία $L:= \left \{ {y=1} \right \}$ , στην οποία σημειώνουμε το σημείο . Έστω ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το . Υποθέτουμε ότι ευθεία κυλιέται με την φορά του ρολογιού πάνω στον χωρίς να ολισθαίνει, με τον να είναι σταθερός. Περιγράψτε την τροχιά του σημειωμένου σημείου σε παραμετρική μορφή $\left ( x(t), y(t) \right)$ .

Screenshot 2025-06-15 at 14.02.53.png

Έστω

το σημείο επαφής όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

Υποθέτουμε ότι η ευθεία έχει στρίψει δεξιόστροφα κατά γωνία

rad με

Ξεκάθαρα είναι AP'=t

όπου

η νέα θέση του

To

είναι η εικόνα του $z_1=ie^{-it}.$

Στρίβουμε αριστερόστροφα κατά $\dfrac{\pi}{2}$ το z_1

στο $iz_1=-e^{-it}$ και το κανονικοποιούμε για να προκύψει

μιγαδικός με μήκος AP'.

Παίρνουμε το $z_2=-te^{-it}.$

Από τον κανόνα παραλληλογράμμου τo

είναι η εικόνα του $z_1+z_2=e^{-it}(i-t)=(\ sin t-t \ cos t,\ cos t+t\ sin t).$

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2024-25 (1)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2024-25 (1)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2024-25 (1)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2024-25 (1)

Μέλη σε σύνδεση