Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

parmenides51 · #1

1. α) Δίνονται οι πίνακες $A=\left[ \begin{matrix} 0 & \alpha \\ \alpha & 0 \\ \end{matrix} \right]$ , $B =\left[ \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{matrix} \right]$ και ο αντιστρέψιμος $\Gamma =\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ .
Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\alpha\in \mathbb{R}}$ ώστε ${{\Gamma }^{-1}}A \Gamma =B$ .

β) Δίνεται ο πίνακας $A =\left[ \begin{matrix} \lambda & -1 \\ -4 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ , $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R} }$
i) Να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ ώστε $A ^2=5\mathbb{I}$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Για την τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ που βρήκατε να υπολογίσετε τους $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$ ώστε να ισχύει ${{A }^{6}}{\color{red}\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 250 \\ -375 \end{matrix} \right]}$

2. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}+3x+\mu \,\, ,x,\mu \in \mathbb{R}}$ .
Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=0}$ δεν μπορεί να έχει δυο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(1,2)}$
β) Αν η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)}$ έχει συνεχή παράγωγο στο $\displaystyle{[0,1]}$ και ικανοποιεί την σχέση $\int\limits_{0}^{1}{x{g}'(x)}dx=1993-\int\limits_{0}^{1}{g(x)}dx$
να βρείτε το $\displaystyle{g(1)}$ .

3. Μια βιομηχανία παράγει $\displaystyle{x}$ ποσότητα από ένα προϊόν με κόστος που δίνεται από την συνάρτηση $\displaystyle{K(x)=\frac{\alpha {{x}^{3}}}{4}}\,,x>0,\alpha \in \left[\frac{2}{9},\frac{9}{2}\right]}$ .
Τα έσοδα από την πώληση $\displaystyle{x}$ ποσότητας του προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση $\displaystyle{E(x)={{x}^{2}} \,,x>0}$
και το κέρδος από την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=E(x)-K(x)\,,x>0}$ .
α) Να βρείτε την ποσότητα ${{x}_{0}}$ για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος που συμβολίζεται με $\displaystyle{M(\alpha)}$ .
β) Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\alpha \in \left[\frac{2}{9},\frac{9}{2}\right]}$ για την οποία το $\displaystyle{M(\alpha)}$ γίνεται μέγιστο καθώς και το μέγιστο κέρδος.

4. Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x{{e}^{-\nu x}},\,\,x\in \mathbb{R},\nu \in \mathbb{N}^*$
α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της $\displaystyle{f}$ , να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της

β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{2\le {{e}^{2}}{{\nu }^{2}} \int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}{x{{e}^{-\nu x}}}dx\le e}$ .

Υ.Γ. Με επιφύλαξη για το ακριβές ζητούμενο στo ερώτημα 1.β.(ii) Πρέπει να το διασταυρώσω.
edit διορθώθηκε, ευχαριστώ τον Ηλία

Σ. Διονύσης · #2

parmenides51 έγραψε: 4. Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x{{e}^{-\nu x}},\,\,x\in \mathbb{R},\nu \in \mathbb{N}^*$
α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της $\displaystyle{f}$ , να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της

β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{2\le {{e}^{2}}{{\nu }^{2}} \int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}{x{{e}^{-\nu x}}}dx\le e}$ .
[/color]

α) $\displaystyle{f'(x)=e^{-\nu x} -\nu x e^{-\nu x} ,\forall x}$

$\displaystyle{f'(x)\geq 0\Leftrightarrow 1\geq \nu x\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{\nu}}$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,\frac{1}{\nu}]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[\frac{1}{\nu},+\infty)$ με τοπικό μέγιστο στο $x=\frac{1}{\nu}$ το $f(\frac{1}{\nu})=\frac{1}{\nu e}$

$\displaystyle{f''(x)=-2\nu e^{-\nu x} +\nu^{2} x e^{-\nu x} ,\forall x}$

και: $\displaystyle{f''(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{\nu^2}\rightarrow}$ σημείο καμπής

β)Με δυο διαδοχικές παραγοντικές έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle{2\le {{e}^{2}}{{\nu }^{2}} \int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}{x{{e}^{-\nu x}}}dx\le e}}$

$\displaystyle{2\le -2+e-e^2\int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}\left(e^{-\nu x}\right)'dx\le e}$

$\displaystyle{2\le -2+e-1+e\le e\Leftrightarrow 2\le 2e-3\le e}$ , αληθές

Σημείωση:Από την τελευταία φαίνεται ότι πιο αυστηρή σχέση είναι ν.δ.ο: $\displaystyle{2\color{red}<\color{black} {{e}^{2}}{{\nu }^{2}} \int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}{x{{e}^{-\nu x}}}dx\color{red}<\color{black} e}$

Ελπίζω να μην σας πειράζει που παρέλειψα τις πράξεις.

Έγινε προσθήκη του α)

Φιλικά,
Διονύσης

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνονται οι πίνακες $A=\left[ \begin{matrix} 0 & \alpha \\ \alpha & 0 \\ \end{matrix} \right]$ , $B =\left[ \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{matrix} \right]$ και ο αντιστρέψιμος $\Gamma =\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ .
Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\alpha\in \mathbb{R}}$ ώστε ${{\Gamma }^{-1}}A \Gamma =B$ .

β) Δίνεται ο πίνακας $A =\left[ \begin{matrix} \lambda & -1 \\ -4 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ , $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R} }$
i) Να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ ώστε $A ^2=5\mathbb{I}$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Για την τιμή του $\lambda$ που βρήκατε να υπολογίσετε τους $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$ ώστε να ισχύει ${{A }^{6}}=\left[ \begin{matrix} x & 250 \\ y & -375 \end{matrix} \right]$

Το ερώτημα βii σωστά διατυπωμένο:
β) ii) Για την τιμή του $\lambda$ που βρήκατε να υπολογίσετε τους $x,y \in R$ ώστε να ισχύει ${{\rm A}^6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {250}\\ { - 375} \end{array}} \right]$

Σημείωση: α. Η πηγή είναι από παλιό βοήθημα.
β. Λόγω αδυναμίας του Parm να το διορθώσει σήμερα το ανέβασα εγώ.

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνονται οι πίνακες $A=\left[ \begin{matrix} 0 & \alpha \\ \alpha & 0 \\ \end{matrix} \right]$ , $B =\left[ \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{matrix} \right]$ και ο αντιστρέψιμος $\Gamma =\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ .
Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\alpha\in \mathbb{R}}$ ώστε ${{\Gamma }^{-1}}A \Gamma =B$ .

β) Δίνεται ο πίνακας $A =\left[ \begin{matrix} \lambda & -1 \\ -4 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ , $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R} }$
i) Να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ ώστε $A ^2=5\mathbb{I}$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Για την τιμή του που βρήκατε να υπολογίσετε τους $x,y \in R$ ώστε να ισχύει ${{\rm A}^6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {250}\\ { - 375} \end{array}} \right]$

α) ${\Gamma ^{ - 1}}{\rm A}\Gamma = {\rm B} \Leftrightarrow \Gamma {\Gamma ^{ - 1}}{\rm A}\Gamma = \Gamma {\rm B} \Leftrightarrow {\rm A}\Gamma = \Gamma {\rm B} \Leftrightarrow$

$\displaystyle{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&\alpha \\ \alpha &0 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0\\ 0&{ - 3} \end{array}} \right] \Rightarrow }$

$\displaystyle{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\alpha \\ \alpha &{ - \alpha } \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&3\\ 3&{ - 3} \end{array}} \right] \Rightarrow \alpha = 3}$

β) i) ${{\rm A}^2} = 5{\rm I} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &{ - 1}\\ { - 4}&1 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &{ - 1}\\ { - 4}&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&0\\ 0&5 \end{array}} \right] \Rightarrow$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda ^2} + 4}&{ - \lambda - 1}\\ { - 4\lambda - 4}&5 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&0\\ 0&5 \end{array}} \right] \Rightarrow$

$\left\{ \begin{array}{l} {\lambda ^2} + 4 = 5\\ - \lambda - 1 = 0\\ - 4\lambda - 4 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda = \pm 1\\ \lambda = - 1\\ \lambda = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow \lambda = - 1$

ii) Με $\lambda = - 1$ είναι $\displaystyle{{{\rm A}^2} = 5 \cdot {\rm I} \Rightarrow {{\rm A}^6} = {\left( {5 \cdot {\rm I}} \right)^3} \Rightarrow {{\rm A}^6} = 125 \cdot {\rm I}}$

${{\rm A}^6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {250}\\ { - 375} \end{array}} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {125}&0\\ 0&{125} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {250}\\ { - 375} \end{array}} \right] \Rightarrow$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {125x}\\ {125y} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {250}\\ { - 375} \end{array}} \right]$

Άρα $\left\{ \begin{array}{l} 125x = 250\\ 125y = - 375 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = - 3 \end{array} \right.$

Christos75 · #5

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}+3x+\mu \,\, ,x,\mu \in \mathbb{R}}$ .
Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=0}$ δεν μπορεί να έχει δυο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(1,2)}$
β) Αν η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)}$ έχει συνεχή παράγωγο στο $\displaystyle{[0,1]}$ και ικανοποιεί την σχέση $\int\limits_{0}^{1}{x{g}'(x)}dx=1993-\int\limits_{0}^{1}{g(x)}dx$
να βρείτε το $\displaystyle{g(1)}$ .

Έχουμε την συνάρτηση: $\displaystyle{f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{7}{2}x^{2}+3x+\mu , x,\mu\in \mathbb{R}}$

Θα αποδείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο.
Πραγματικά, έστω ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ έχει δύο ρίζες διακεκριμένες, έστω $\displaystyle{\rho _{1}<\rho _{2}}$

Οι δύο παραπάνω ρίζες υποθέτουμε ότι βρίσκονται στο διάστημα [1,2]

δηλαδή $\displaystyle{1\leq \rho _{1}<\rho _{2}\leq 2}$

Η εν λόγω συνάρτηση είναι:

$\bullet$ Συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{[\rho _{1},\rho _{2}]\subseteq [1,2]}$ ως πολυωνυμική

$\bullet$ Παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{(\rho _{1},\rho _{2})\subseteq (1,2)}$ για τον ίδιο λόγο.

$\bullet$ Ισχύει $\displaystyle{f(\rho _{1})=f(\rho _{2})(=0)}$ αφού $\rho _{1}, \rho _{2}$ ρίζες της εξίσωσης

Τότε από θεώρημα Rolle $\displaystyle{\exists \xi\in (\rho _{1},\rho _{2}): f'(\xi)=0}$

Δηλαδή: $\displaystyle{2\xi^{2}-7\xi+3=0 \Leftrightarrow \xi_{1}=\frac{1}{2}\notin (\rho _{1},\rho _{2})\subseteq (1,2) \wedge \xi_{2}=3 \notin (\rho _{1},\rho _{2})\subseteq (1,2)}$

που σημαίνει ότι καταλήξαμε σε ΑΤΟΠΟ. Άρα, δεν μπορούμε να έχουμε για την

δύο ξεχωριστές ρίζες στο συγκεκριμένο διάστημα.

β) Μας δίνεται ότι η

έχει συνεχή παράγωγο στο $\displaystyle{[0,1]}$

Είναι $\displaystyle{\int_{0}^{1}x.g'(x)dx=1993-\int_{0}^{1}g(x)dx\Leftrightarrow [xg(x)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(x)'g(x)dx=1993-\int_{0}^{1}g(x)dx}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 1.g(1)-0.g(0)-\int_{0}^{1}g(x)dx=1993-\int_{0}^{1}g(x)dx\Leftrightarrow g(1)=1993}$

όπου είναι και η ζητούμενη τιμή του g(1)

Christos75 · #6

parmenides51 έγραψε: 3. Μια βιομηχανία παράγει $\displaystyle{x}$ ποσότητα από ένα προϊόν με κόστος που δίνεται από την συνάρτηση $\displaystyle{K(x)=\frac{\alpha {{x}^{3}}}{4}}\,,x>0,\alpha \in \left[\frac{2}{9},\frac{9}{2}\right]}$ .
Τα έσοδα από την πώληση $\displaystyle{x}$ ποσότητας του προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση $\displaystyle{E(x)={{x}^{2}} \,,x>0}$
και το κέρδος από την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=E(x)-K(x)\,,x>0}$ .
α) Να βρείτε την ποσότητα ${{x}_{0}}$ για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος που συμβολίζεται με $\displaystyle{M(\alpha)}$ .
β) Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\alpha \in \left[\frac{2}{9},\frac{9}{2}\right]}$ για την οποία το $\displaystyle{M(\alpha)}$ γίνεται μέγιστο καθώς και το μέγιστο κέρδος.

Λύση

Έχουμε την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=E(x)-K(x)\Leftrightarrow f(x)=x^{2}-\frac{\alpha x^{3}}{4}}$

Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης $\displaystyle{f'(x)=(x^{2}-\frac{\alpha x^{3}}{4})'=2x-\frac{3\alpha x^{2}}{4}=-\frac{3\alpha x^{2}}{4}+2x}$

Είναι $\displaystyle{f'(x)=0\Leftrightarrow -\frac{3\alpha x^{2}}{4}+2x=0}$ και αφού x>0

από πρόσημο τριωνύμου έχουμε ότι

η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(0,\frac{8}{3\alpha }]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\displaystyle{[\frac{8}{3\alpha },+\infty )}}$

άρα η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο $\displaystyle{x_{0}=\frac{8}{3\alpha }}$

Η μέγιστη τιμή αυτή είναι $\displaystyle{f(x_{0})=f(\frac{8}{3\alpha })=(\frac{8}{3\alpha })^2-\frac{\alpha (8/3\alpha )^3}{4}=...=\frac{64}{27\alpha ^{2}}, \alpha \in [\frac{2}{9},\frac{9}{2}]}$

Άρα τελικά έχουμε $\displaystyle{M(\alpha )=\frac{64}{27\alpha ^{2}}, \alpha \in [\frac{2}{9},\frac{9}{2}]}$

ii) Αναζητούμε τώρα την παράγωγο της συνάρτησης

και έχουμε

$\displaystyle{M'(\alpha )=(\frac{64}{27\alpha ^{2}})'=-\frac{128}{27\alpha ^{3}}<0 , \alpha \in [\frac{2}{9},\frac{9}{2}]}$ που σημαίνει ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως

φθίνουσα στο διάστημα αυτό. Εν τω μεταξύ, η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα αυτό και αφού η

και γνησίως φθίνουσα τότε

$\displaystyle{max=M(\frac{2}{9})=\frac{64}{27(2/9)^2}=...=48}$ όπου είναι και το μέγιστο κέρδος.

Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

Μέλη σε σύνδεση