Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

parmenides51 · #1

1. α) Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f({x})={\alpha }{{{x }}^{2}}-2{x }\ln {x }}$ με $\displaystyle{x\in \left( 0,+\infty \right)}$ .
i) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή ή κοίλη.
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{A(1,f(1))}$
και να προσδιορίσετε το $\displaystyle{\alpha}$ ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Έστω μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ η οποία έχει συνεχή $\displaystyle{f''}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο $\displaystyle{x_0=2}$
και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{A(0,1)}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\int\limits_{0}^{2}{\left[ x f''({x})+3{f}'({x }) \right]}dx=-\frac{8}{3}}$ να υπολογίσετε το $\displaystyle{f(2)}$ .

2. α) Έστω $\displaystyle{A,B}$ πίνακες $\displaystyle{ \nu \,x \nu}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{A+(B-\mathbb{I})=AB-\mathbb{I}}$ , όπου $\displaystyle{ \mathbb{I}}$ ο μοναδιαίος $\displaystyle{ \nu \,x \nu}$ πίνακας .
Να αποδείξετε ότι ο πίνακας $\displaystyle{ (A-\mathbb{I})}$ αντιστρέφεται.
β) Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{ \nu \,x \nu}$ πίνακας για τον οποίο υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\mathbb{I}-A^2+A^4=\mathbb{O}}$ , όπου $\displaystyle{\mathbb{I} , \mathbb{O}}$ ο μοναδιαίος και μηδενικός $\displaystyle{ \nu \,x \nu}$ πίνακας αντίστοιχα.
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{A^6+\mathbb{I}=\mathbb{O}}$ , ο $\displaystyle{A}$ έχει αντίστροφο και $\displaystyle{A^{-1}= - A^5}$ .
ii) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{-A^{308}+(A^{-1})^{105}=A^2+A^3}$ .

3. α) Αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{f '(x)=0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο $\displaystyle{x}$ του $\displaystyle{\Delta}$
τότε να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\Omega}$ ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και $\displaystyle{A,B}$ είναι υποσύνολα του $\displaystyle{\Omega}$ .
Έστω $\displaystyle{{P({A}')\le 0,28}$ και $\displaystyle{P({B}')\le 0,71}$ . Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{P(A\cap B)\ge 1,01-P(A\cup B)}$
ii) το ενδεχόμενο $\displaystyle{A\cap B}$ δεν είναι το $\displaystyle{\varnothing}$ .

4. α) Έστω ότι η ευθεία $\displaystyle{y=2x+5}$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{+\infty}$ .
i) Να βρείτε τα όρια $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\left[ f(x)-2x \right]}$
ii) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{ \mu}$ , αν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \frac{{\mu } f(x)+4x}{x f(x )-2x^2+3x}=1}$
β) Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{{{e}^x}-x+1>0\,\,\forall \in R}$
ii) Η εξίσωση $\displaystyle{2{{e}^x}+2x={x^{2}}+2}$ έχει ακριβώς μια λύση την $\displaystyle{x=0}$ .

#2

2. α) Έστω $\displaystyle{A,B}$ πίνακες $\displaystyle{ \nu \,x \nu}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{A+(B-\mathbb{I})=AB-\mathbb{I}}$ , όπου $\displaystyle{ \mathbb{I}}$ ο μοναδιαίος $\displaystyle{ \nu \,x \nu}$ πίνακας .
Να αποδείξετε ότι ο πίνακας $\displaystyle{ (A-\mathbb{I})}$ αντιστρέφεται.
β) Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{ \nu \,x \nu}$ πίνακας για τον οποίο υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\mathbb{I}-A^2+A^4=\mathbb{O}}$ , όπου $\displaystyle{\mathbb{I} , \mathbb{O}}$ ο μοναδιαίος και μηδενικός $\displaystyle{ \nu \,x \nu}$ πίνακας αντίστοιχα.
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{A^6+\mathbb{I}=\mathbb{O}}$ , ο $\displaystyle{A}$ έχει αντίστροφο και $\displaystyle{A^{-1}= - A^5}$ .
ii) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{-A^{308}+(A^{-1})^{105}=A^2+A^3}$ .

$\displaystyle{\begin{array}{l} \alpha )\,\,\,\,A + (B - {\rm I}) = AB - {\rm I} \Leftrightarrow A - AB + (B - {\rm I}) = - {\rm I} \Leftrightarrow A({\rm I} - B) - ({\rm I} - B) = - {\rm I} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (A - {\rm I})(B - {\rm I}) = {\rm I} \Leftrightarrow {(A - {\rm I})^{ - 1}} = B - {\rm I} \\ \\ \beta )\,\,\,{\rm I} - {A^2} + {A^4} = \,\,0\,\,\, \Rightarrow {A^4} = {A^2} - \,\,{\rm I} \Rightarrow {{\rm A}^6} = {{\rm A}^4} - {{\rm A}^2} = - \,\,{\rm I} \\ \\ i)\,\,\,\,{{\rm A}^6} = - \,\,\,{\rm I} \Leftrightarrow {\rm A}( - {{\rm A}^5}) = {\rm I} \Leftrightarrow {{\rm A}^{ - 1}} = - {{\rm A}^5} \\ \\ ii)\,\,\,\,\, - {A^{308}} + {({A^{ - 1}})^{105}} = - {{\rm A}^{308}} + {\left( { - {{\rm A}^5}} \right)^{105}} = - {{\rm A}^{308}} - {{\rm A}^{525}} = - {\left( {{{\rm A}^6}} \right)^{51}}{{\rm A}^2} - {\left( {{{\rm A}^6}} \right)^{87}}{{\rm A}^3} \\ \\ = - {( - \,\,{\rm I}\,\,)^{51}}{{\rm A}^2} - {( - \,\,{\rm I}\,\,)^{87}}{{\rm A}^3} = {{\rm A}^2} + {{\rm A}^3} \\ \end{array}}$

Γιώργος Απόκης · #3

3. α) Αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{f '(x)=0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο $\displaystyle{x}$ του $\displaystyle{\Delta}$
τότε να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\Omega}$ ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και $\displaystyle{A,B}$ είναι υποσύνολα του $\displaystyle{\Omega}$ .
Έστω $\displaystyle{{P({A}')\le 0,28}$ και $\displaystyle{P({B}')\le 0,71}$ . Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{P(A\cap B)\ge 1,01-P(A\cup B)}$
ii) το ενδεχόμενο $\displaystyle{A\cap B}$ δεν είναι το $\displaystyle{\varnothing}$ .

Λύση

α) Θεωρία

β) i) Έχουμε : $\displaystyle{P(A')\leq 0,28\Rightarrow 1-P(A)\leq 0,28\Rightarrow P(A)\geq 0,72}$

και $\displaystyle{P(B')\leq 0,71\Rightarrow 1-P(B)\leq 0,71\Rightarrow P(B)\geq 0,29}$ . Mε πρόσθεση κατά μέλη :

$\displaystyle{P(A)+P(B)\geq 0,72+0,29\Rightarrow P(A\cap B)+P(A\cup B)\geq 1,01\Rightarrow P(A\cap B)\ge 1,01-P(A\cup B) }$

ii) Aν $\displaystyle{A\cap B=\emptyset}$ τότε θα είχαμε : $\displaystyle{P(A\cap B)=0}$ και η σχέση του ερωτήματος i) θα γινόταν

$\displaystyle{0\ge 1,01-P(A\cup B)\Rightarrow P(A\cup B)\geq 1,01>1 }$ που είναι άτοπο.

BAGGP93 · #4

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f({x})={\alpha }{{{x }}^{2}}-2{x }\ln {x }}$ με $\displaystyle{x\in \left( 0,+\infty \right)}$ .
i) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή ή κοίλη.
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{A(1,f(1))}$
και να προσδιορίσετε το $\displaystyle{\alpha}$ ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Έστω μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ η οποία έχει συνεχή $\displaystyle{f''}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο $\displaystyle{x_0=2}$
και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{A(0,1)}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\int\limits_{0}^{2}{\left[ x f''({x})+3{f}'({x }) \right]}dx=-\frac{8}{3}}$ να υπολογίσετε το $\displaystyle{f(2)}$ .

αi)Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με παράγωγο

$\displaystyle{f^\prime(x)=2\alpha\,x-2\left(\ln x+1\right)\,,x>0}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f^\prime}$ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με παράγωγο

$\displaystyle{f''(x)=2\alpha-\frac{2}{x}\,,x>0}$

Για $\displaystyle{x>0}$ είναι,

$\displaystyle{f''(x)>0\Leftrightarrow 2\alpha-\frac{2}{x}>0\Leftrightarrow \frac{1}{x}<\alpha\Leftrightarrow x>\frac{1}{a}}$

$\displaystyle{f''(x)<0\ \forall x\in\left(0,\frac{1}{a}\right)\,\,,f''\left(\frac{1}{a}\right)=0}$

Η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{\left[\frac{1}{a},+\infty\right)}$ και κοίλη στο $\displaystyle{\left(0,\frac{1}{a}\right]}$

αii)Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο της $\displaystyle{A\left(1,f(1)\right)}$ είναι η

$\displaystyle{f^\prime(1)\,x-y+\left(f(1)-f^\prime(1)\right)=0\Leftrightarrow \left(2\alpha-2\right)x-y+\left(2-\alpha\right)=0}$

Το σημείο $\displaystyle{O(0,0)}$ ανήκει στην παραπάνω ευθεία αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της, οπότε,

$\displaystyle{\left(2\alpha-2\right)\cdot 0-0+\left(2-\alpha\right)=0\Leftrightarrow \alpha=2}$

β)Εφόσον η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο $\displaystyle{x=2}$ και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, από το Θεώρημα

του Fermat, έπεται ότι $\displaystyle{f^\prime(2)=0}$

Επίσης, $\displaystyle{A\left(0,1\right)\in C_{f}\Leftrightarrow f(0)=1}$

Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{2}\left[x\,f''(x)+3f^\prime(x)\right]\,dx=-\frac{8}{3}&\Rightarrow \int_{0}^{2}\left[\left(x\,f''(x)+f^\prime(x)\right)+2f^\prime(x)\right]\,dx=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow \int_{0}^{2}\,d\left(x\,f^\prime(x)+2f(x)\right)=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow \left[x\,f^\prime(x)+2f(x)\right]_{0}^{2}=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow 2f^\prime(2)+2f(2)-0-2f(0)=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow 2f(2)-2=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow f(2)=-\frac{1}{3}\end{aligned}}$

BAGGP93 · #5

parmenides51 έγραψε:

4. α) Έστω ότι η ευθεία $\displaystyle{y=2x+5}$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{+\infty}$ .
i) Να βρείτε τα όρια $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\left[ f(x)-2x \right]}$
ii) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{ \mu}$ , αν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \frac{{\mu } f(x)+4x}{x f(x )-2x^2+3x}=1}$
β) Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{{{e}^x}-x+1>0\,\,\forall \in R}$
ii) Η εξίσωση $\displaystyle{2{{e}^x}+2x={x^{2}}+2}$ έχει ακριβώς μια λύση την $\displaystyle{x=0}$ .

αi)Αφού η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=2x+5}$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{+\infty}$ , έχουμε ότι

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\left[f(x)-\left(2x+5\right)\right]=0\Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-2x\right)=5}$

Είναι,

$\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{f(x)}{x}-2\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)-2x}{x}=0\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2}$

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\frac{\mu\,f(x)+4x}{x\,f(x)-2x^2+3x}=1&\Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}\displaystyle{\frac{\mu\,\frac{f(x)}{x}+4}{f(x)-2x+3}}=1\\&\Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}\displaystyle{\frac{\mu\,\frac{f(x)}{x}+4}{\left(f(x)-2x-5\right)+8}}=1\\&\Leftrightarrow \frac{2\mu+4}{8}=1\\&\Leftrightarrow 2\mu+4=8\\&\Leftrightarrow 2\mu=4\\&\Leftrightarrow \mu=2\end{aligned}}$

βi)Η συνάρτηση $\displaystyle{h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{h(x)=e^{x}-x-1}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με

$\displaystyle{h^\prime(x)=e^{x}-1}$

Έχουμε, $\displaystyle{\forall x>0:h^\prime(x)>0\,\,,\forall x<0:h^\prime(x)<0\,\,,h^\prime(0)=0}$

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο $\displaystyle{x=0}$ το $\displaystyle{h(0)=0}$

Επομένως,

$\displaystyle{\forall x\in\mathbb{R}:h(x)\geq h(0)\Rightarrow \forall x\in\mathbb{R}:e^{x}-x\geq 1\Rightarrow \forall x\in\mathbb{R}:e^{x}-x+1\geq 2>0\,\,(I)}$

βii)Η συνάρτηση $\displaystyle{\varphi(x)=2e^{x}-x^2+2x+2\,\,,x\in\mathbb{R}}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με

$\displaystyle{\varphi^\prime(x)=2e^{x}-2x+2=2\left(e^{x}-x+1\right)\stackrel{(I)}{>}0}$

Άρα, η συνάρτηση $\displaystyle{\varphi}$ ως γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, έχει το πολύ μια ρίζα.

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\varphi(0)=0}$ .

Έτσι, η εξίσωση $\displaystyle{\varphi(x)=0}$ , που είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{2e^{x}+2x=x^2+2}$ ,

έχει μοναδική ρίζα την $\displaystyle{x=0}$

Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

Μέλη σε σύνδεση