Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

parmenides51 · #1

1. α) Αν για τους $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακες $\displaystyle{ A,B}$ ισχύει $\displaystyle{A^2+2B=2{\color{red}A} B}$ και ο $\displaystyle{B}$ αντιστρέφεται, να αποδείξετε ότι :
i) Ο πίνακας $\displaystyle{A}$ αντιστρέφεται
ii) $\displaystyle{2(A^{-1})^2+B^{-1}=2 A^{-1}}$
β) Θεωρούμε ένα γραμμικό σύστημα $\displaystyle{3 \, x \, 3}$ με πραγματικούς συντελεστές και με αγνώστους $\displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R} }$ .
Έστω $\displaystyle{D}$ η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος και $\displaystyle{D_x,D_y,D_z}$ οι ορίζουσες που προκύπτουν από την $\displaystyle{D}$
αν αντικαταστήσουμε την $\displaystyle{1}$ η , $\displaystyle{2}$ η και $\displaystyle{3}$ η στήλη αντίστοιχα με την στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\kappa\lambda D=\kappa D_x+2\lambda D_y+(\kappa +2\lambda )D_z}$ , όπου $\displaystyle{\kappa, \lambda \in \mathbb{R} ^*}$ . Να αποδείξετε ότι :
i) Αν το σύστημα έχει την μοναδική λύση $\displaystyle{(x_0,y_0,z_0)}$ τότε $\displaystyle{\kappa (x_0+z_0)+2\lambda(y_0+z_0)=\kappa \lambda}$
ii) Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε έχει και μη μηδενικές λύσεις.

2. α) Δίνεται ο αντιστρέψιμος $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ πίνακας $\displaystyle{A}$ και ο $\displaystyle{B=\left[ \begin{matrix} \mathsf{\alpha -\beta +\gamma } & 0 \\ \mathsf{\alpha -3-\gamma } & \mathsf{\beta +\gamma } \\ \end{matrix} \right]}$ .
Αν $\displaystyle{AB=0}$ να βρεθούν τα $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\Omega}$ το σύνολο των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{\left( x^{2}}+4x-5 \right)\left(x-7 \right)=0}$
Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\Omega}$ είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα .
Θεωρούμε το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} & \left( \alpha -1995 \right)x+y=0 \\ & \left(\alpha -1995 \right)\left( 2\alpha -7 \right)x+\left( \alpha -6 \right)y=0 \\ \end{matrix}}$ όπου $\displaystyle{\alpha \in \Omega}$
Έστω $\displaystyle{A \subseteq \Omega}$ είναι το ενδεχόμενο το παραπάνω σύστημα να έχει και μη μηδενικές λύσεις .
Να βρεθεί η πιθανότητα $\displaystyle{P(A)}$ .

3. α) i) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $\displaystyle{[\alpha,\beta]}$ και $\displaystyle{f(\alpha)\ne f(\beta)}$ τότε
για κάθε αριθμό $\displaystyle{\eta}$ μεταξύ των $\displaystyle{f(\alpha)}$ και $\displaystyle{f(\beta)}$ υπάρχει τουλάχιστον ένας $\displaystyle{x_0 \in (\alpha,\beta)}$ τέτοιος ώστε να ισχύει $\displaystyle{f(x_0 )=\eta}$ .
ii) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^{4}-2x^{2}+ \alpha \, , \alpha \in \mathbb{R}}$
1. Αν $\displaystyle{A(x_1,f(x_1)), B(x_2,f(x_2)) , \Gamma(x_3,f(x_3))}$ είναι τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ και $\displaystyle{x_1<x_2<x_3}$ ,
να αποδείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle{AB}$ είναι κάθετη στην ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ .
2. Αν $\displaystyle{0<\alpha<1}$ να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα $\displaystyle{(-1,0)}$ .
β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R} }$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f'(x)\ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R} }$
και η συνάρτηση $\displaystyle{ g }$ τέτοια ώστε $\displaystyle{g(x) f '(x)=2f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R} }$ .
Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ έχει σημείο καμπής το $\displaystyle{A(x_0,f(x_0)) }$ τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{ g}$
στο σημείο $\displaystyle{Β(x_0,g(x_0)) }$ είναι παράλληλη στην ευθεία $\displaystyle{y-2x+5=0}$ .

4. α) Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο $\displaystyle{t }$ σύμφωνα με τη συνάρτηση $\displaystyle{f(t)=\frac{7A}{2}{{e}^{\displaystyle -\frac{t+28}{14}}},t\ge 0}$
όπου $\displaystyle{A}$ ένας θετικός αριθμός.
Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους $\displaystyle{K(t)}$ από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει η συγκεκριμένη μηχανή δίνεται από τη συνάρτηση $\displaystyle{{K}'(t)=\frac{A}{4}{{e}^{\displaystyle -\frac{t}{7}}}\,,t\ge 0}$
και υποθέτουμε ότι $\displaystyle{K(0)=0}$ .
Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή έτσι ώστε το συνολικό κέρδος $\displaystyle{P(t)}$ από τα βιβλία που πουλήθηκαν
συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο.
β) Αν $\displaystyle{G(x)=\int\limits_{1}^{x}{f(t)dt}}$ όπου $\displaystyle{f(t)=\int_{1}^{3t}{\frac{{{e}^{u}}}{\sqrt{u}}du}}$ και $\displaystyle{\color{red}x}>0, t>0}$ να βρείτε :
i) την $\displaystyle{G''(1)}$
ii) το $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}\frac{\sqrt{x}\cdot {G}{\color{red}''}(x)-\sqrt{3}}{\sqrt{x+1}-1}}$

edit's
1. διόρθωση τυπογραφικού στην εκφώνηση του 1ου θέματος λόγω $\displaystyle{\LaTeX}$ , θενξ Ηλία
2. διόρθωση παραγώγου στo 4β.ii)

σωστός (πάλι) ο Ορέστης
3. διόρθωση τυπογραφικού στην εκφώνηση του 4β λόγω $\displaystyle{\LaTeX}$ ,

orestisgotsis · #2

ΠΕΡΙΤΤΑ

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:1. α) Αν για τους $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακες $\displaystyle{ A,B}$ ισχύει $\displaystyle{A^2+2B=2{\color{red}A} B}$ και ο $\displaystyle{B}$ αντιστρέφεται, να αποδείξετε ότι :
i) Ο πίνακας $\displaystyle{A}$ αντιστρέφεται
ii) $\displaystyle{2(A^{-1})^2+B^{-1}=2 A^{-1}}$
β) Θεωρούμε ένα γραμμικό σύστημα $\displaystyle{3 \, x \, 3}$ με πραγματικούς συντελεστές και με αγνώστους $\displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R} }$ .
Έστω $\displaystyle{D}$ η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος και $\displaystyle{D_x,D_y,D_z}$ οι ορίζουσες που προκύπτουν από την $\displaystyle{D}$
αν αντικαταστήσουμε την $\displaystyle{1}$ η , $\displaystyle{2}$ η και $\displaystyle{3}$ η στήλη αντίστοιχα με την στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\kappa\lambda D=\kappa D_x+2\lambda D_y+(\kappa +2\lambda )D_z}$ , όπου $\displaystyle{\kappa, \lambda \in \mathbb{R} ^*}$ . Να αποδείξετε ότι :
i) Αν το σύστημα έχει την μοναδική λύση $\displaystyle{(x_0,y_0,z_0)}$ τότε $\displaystyle{\kappa (x_0+z_0)+2\lambda(y_0+z_0)=\kappa \lambda}$
ii) Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε έχει και μη μηδενικές λύσεις.

α) i) ${A^2} + 2B = 2AB \Leftrightarrow {A^2}{B^{ - 1}} + 2B{B^{ - 1}} = 2AB{B^{ - 1}} \Leftrightarrow {A^2}{B^{ - 1}} + 2I = 2A \Leftrightarrow$

$2A - {A^2}{B^{ - 1}} = 2I \Leftrightarrow A\left( {2I - A{B^{ - 1}}} \right) = 2I \Leftrightarrow \frac{1}{2}A\left( {2I - A{B^{ - 1}}} \right) = I$

Άρα ο Α αντιστρέφεται και είναι ${A^{ - 1}} = \frac{1}{2}\left( {2I - A{B^{ - 1}}} \right) \Leftrightarrow {A^{ - 1}} = I - \frac{1}{2}A{B^{ - 1}}$ (1)

ii) $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{A^{ - 1}} = 2I - A{B^{ - 1}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot {A^{ - 1}}} 2{A^{ - 1}}{A^{ - 1}} = 2{A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}A{B^{ - 1}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle{2{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^2} = 2{A^{ - 1}} - {B^{ - 1}} \Leftrightarrow 2{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^2} + {B^{ - 1}} = 2{A^{ - 1}}}$

β) i) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση τότε είναι $D \ne 0$ και

$\displaystyle{{x_o} = \frac{{{D_x}}}{D},\quad {y_o} = \frac{{{D_y}}}{D},\quad {z_o} = \frac{{{D_z}}}{D}}$

$\displaystyle{\kappa \lambda D = \kappa {D_x} + 2\lambda {D_y} + \left( {\kappa + 2\lambda } \right){D_z}\mathop \Leftrightarrow \limits^{:D \ne 0} \kappa \lambda = \kappa {x_o} + 2\lambda {y_o} + \left( {\kappa + 2\lambda } \right){z_o} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\kappa {x_o} + 2\lambda {y_o} + \kappa {z_o} + 2\lambda {z_o} = \kappa \lambda \Leftrightarrow \kappa \left( {{x_o} + {z_o}} \right) + 2\lambda \left( {{y_o} + {z_o}} \right) = \kappa \lambda }$

ii. Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε ${D_x} = {D_y} = {D_z} = 0$ και η δοσμένη σχέση γίνεται:

$\displaystyle{\kappa \lambda D = \kappa {D_x} + 2\lambda {D_y} + \left( {\kappa + 2\lambda } \right){D_z} \Leftrightarrow \kappa \lambda D = 0 \Leftrightarrow D = 0}$ αφού $\kappa ,\lambda \in R$

Έτσι, επειδή D = 0

, το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε:2. α) Δίνεται ο αντιστρέψιμος $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ πίνακας $\displaystyle{A}$ και ο $\displaystyle{B=\left[ \begin{matrix} \mathsf{\alpha -\beta +\gamma } & 0 \\ \mathsf{\alpha -3-\gamma } & \mathsf{\beta +\gamma } \\ \end{matrix} \right]}$ .
Αν $\displaystyle{AB=0}$ να βρεθούν τα $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\Omega}$ το σύνολο των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{\left( x^{2}}+4x-5 \right)\left(x-7 \right)=0}$
Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\Omega}$ είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα .
Θεωρούμε το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} & \left( \alpha -1995 \right)x+y=0 \\ & \left(\alpha -1995 \right)\left( 2\alpha -7 \right)x+\left( \alpha -6 \right)y=0 \\ \end{matrix}}$ όπου $\displaystyle{\alpha \in \Omega}$
Έστω $\displaystyle{A \subseteq \Omega}$ είναι το ενδεχόμενο το παραπάνω σύστημα να έχει και μη μηδενικές λύσεις .
Να βρεθεί η πιθανότητα $\displaystyle{P(A)}$ .

α) $AB = O\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot {A^{ - 1}}} {A^{ - 1}}AB = O \Leftrightarrow B = O$

Άρα $\left\{ \begin{array}{l} \alpha - \beta + \gamma = 0\,\left( 1 \right)\\ \alpha - 3 - \gamma = 0\;\left( 2 \right)\\ \beta + \gamma = 0\quad \;\;\left( 3 \right) \end{array} \right.$

$\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow 2\alpha - \beta - 3 = 0 \Leftrightarrow \beta = 2\alpha - 3\;\left( 4 \right)$

$\left( 3 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \alpha + \beta - 3 = 0 \Leftrightarrow \beta = 3 - \alpha \;\left( 5 \right)$

$\left( 4 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)} 3 - \alpha = 2\alpha - 3 \Leftrightarrow \alpha = 2$

$\left( 5 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\alpha = 2} \beta = 1$ και $\left( 3 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\beta = 1} \gamma = - 1$

β) $\left( {{x^2} + 4x - 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0\;\dot \eta \;x - 7 = 0$

Άρα $\left( {{x^2} + 4x - 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0x = 1\;\dot \eta \;x = - 5\;\dot \eta \;x = 7$

Οπότε $\Omega = \left\{ { - 5,\,1,\,7} \right\}$

Αφού το σύστημα είναι ομογενές και έχει και μη μηδενικές λύσεις θα ισχύει:

$D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha - 1995}&1\\ {\left( {\alpha - 1995} \right)\left( {2\alpha - 7} \right)}&{\alpha - 6} \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {\alpha - 1995} \right)\left( {\alpha - 6} \right) - \left( {\alpha - 1995} \right)\left( {2\alpha - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {\alpha - 1995} \right)\left( {\alpha - 6 - 2\alpha + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {\alpha - 1995} \right)\left( {1 - \alpha } \right) = 0 \Leftrightarrow \alpha = 1995\;\dot \eta \;\alpha = 1$

Άρα ${\rm A} = \left\{ 1 \right\}$ $\left( {1995 \notin \Omega } \right)$ και $\displaystyle P\left( A \right) = \frac{{N\left( {\rm A} \right)}}{{{\rm N}\left( \Omega \right)}} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{3}$

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

Μέλη σε σύνδεση