Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

parmenides51 · #1

1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f }$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $\displaystyle{x_0}$ τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
β) i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\ln (x+1)>x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{5}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,+\infty)}$
ii) Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{{{\left[ f(x) \right]}^{5}}+2{{\left[ f(x) \right]}^{3}}+3f(x)=(x+1)\ln (x+1)-\frac{4}{5}x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{6}+182}$
για κάθε $\displaystyle{x\in [0,+\infty)}$ . Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ [0,+\infty)}$

2. α) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου $\displaystyle{A(1,3), B(-1,0), \Gamma(3,-1)}$
i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το $\displaystyle{A}$ και είναι κάθετη στην ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ .
ii) Έστω $\displaystyle{C}$ ο κύκλος με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{(AB)}$ .
Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας $\displaystyle{B\Gamma}$ με τον παραπάνω κύκλο.
β) Έστω $\displaystyle{\Omega =\left\{ 0,1,2 \right\}}$ ένας δειγματικός χώρος με $\displaystyle{P(0)=2P(2)=\frac{1}{3}}$
i) Να βρείτε το $\displaystyle{P(1)}$
ii) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)={{e}^{x}}-\frac{\lambda }{2}{{x}^{2}}+118,\,\,\,x\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{\lambda \in \Omega }$ .
Θεωρούμε το ενδεχόμενο $\displaystyle{E=\{ \lambda \in \Omega |}$ η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ έχει σημείο καμπής το $\displaystyle{(0,f(0)\}}$ .
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{E}$ .

3. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\eta {{\mu }^{2}}(\alpha x),\,\,x\in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ . Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{{f}''(x)+4{{\alpha }^{2}}f(x)=2}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$
β) Δίνεται η συνάρτηση $f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1,\,\,x\in \mathbb{R}$
i) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)>0 }$ για κάθε $\displaystyle{x \in [1,3]}$
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=1}$ και $\displaystyle{x=3}$ .

4. α) Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας για τον οποίο ισχύει ${{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{-1}}=A+2I$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{{A}^{2}}=3\mathbb{I} -A}$
ii) Έστω $\displaystyle{ X \,\,\, \nu \, x \, \nu}$ πίνακας για τον οποίο ισχύει $AX-A=4\mathbb{I}-X$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{X=A+\mathbb{I}}$
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R} }$ και το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} f(1)x+y+z=0 \\ f(2)x+2y+2z=0 \\ 2x+f(2)y+2f(1)z =0 \\ \end{matrix} \right}$ με αγνώστους $\displaystyle{x,y,z}$ .
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{\frac{f(2)}{2}=\frac{f(1)}{1}}$
ii) Η εξίσωση $\displaystyle{x{f}'(x)-f(x)=0}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(1,2)}$ .

pito · #2

[quote="parmenides51"]1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f }$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $\displaystyle{x_0}$ τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
β) i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\ln (x+1)>x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{5}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,+\infty)}$
ii) Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{{{\left[ f(x) \right]}^{5}}+2{{\left[ f(x) \right]}^{3}}+3f(x)=(x+1)\ln (x+1)-\frac{4}{5}x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{6}+182}$
για κάθε $\displaystyle{x\in [0,+\infty)}$ . Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ [0,+\infty)}$

ΛΥΣΗ:

α) Θεωρία

β) i)Έστω η $\displaystyle g(x)=ln(x+1)-x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{5}, x>-1$ , παραγωγίσιμη με $\displaystyle g'(x)=\frac{1}{x+1}+x-1=\frac{x^{2}}{x+1}\geq 0,$ για x>-1

με

Έτσι η

είναι γνησίως αύξουσα για x>-1

Τώρα για $\displaystyle x>0 \Rightarrow g(x)>g(0)\Rightarrow \Rightarrow g(x)>\frac{1}{5}$ με $g(0)=\frac{1}{5}$ , άρα g(x)>0

για $x\geq 0$

ii) Αφού η

παραγωγίσιμη, παραγωγίζοντας τη δοσμένη είναι $\displaystyle f'(x)(5f^{4}(x)+6f^{2}(x)+3)=g(x)\Rightarrow f'(x)=\frac{g(x)}{5f^{4}(x)+3+6f^{2}(x)}$ αφού
$5f^{4}(x)+6f^{2}(x)+3>0$ και g(x)>0

άρα και

δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας για τον οποίο ισχύει ${{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{-1}}=A+2I$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{{A}^{2}}=3\mathbb{I} -A}$
ii) Έστω $\displaystyle{ X \,\,\, \nu \, x \, \nu}$ πίνακας για τον οποίο ισχύει $AX-A=4\mathbb{I}-X$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{X=A+\mathbb{I}}$
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R} }$ και το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} f(1)x+y+z=0 \\ f(2)x+2y+2z=0 \\ 2x+f(2)y+2f(1)z =0 \\ \end{matrix} \right}$ με αγνώστους $\displaystyle{x,y,z}$ .
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{\frac{f(2)}{2}=\frac{f(1)}{1}}$
ii) Η εξίσωση $\displaystyle{x{f}'(x)-f(x)=0}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(1,2)}$ .

α) i) ${\left( {A - I} \right)^{ - 1}} = A + 2I \Leftrightarrow \left( {A - I} \right){\left( {A - I} \right)^{ - 1}} = \left( {A - I} \right)\left( {A + 2I} \right) \Leftrightarrow$

$I = {A^2} + 2A - A - 2I \Leftrightarrow {A^2} = 3I - A$ (1)

ii) $\displaystyle {A^2} + A = 3I \Leftrightarrow A\left( {A + I} \right) = 3I \Leftrightarrow {\left( {A + I} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{3}A$ (2)

$AX - A = 4I - X \Leftrightarrow \left( {A + I} \right)X = 4I + A \Leftrightarrow$

${\left( {A + I} \right)^{ - 1}}\left( {A + I} \right)X = {\left( {A + I} \right)^{ - 1}}\left( {4I + A} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)}$

$\displaystyle X = \frac{1}{3}A\left( {4I + A} \right) \Leftrightarrow X = \frac{4}{3}A + \frac{1}{3}{A^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle X = A + \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}{A^2} \Leftrightarrow X = A + \frac{1}{3}\left( {A + {A^2}} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

$\displaystyle X = A + \frac{1}{3}3I \Leftrightarrow X = A + I$

β) i) Αφού το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις θα ισχύει:

$D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 \right)}&1&1\\ {f\left( 2 \right)}&2&2\\ 2&{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} \end{array}} \right| = 0$ (3)

Πολ/ντας την 1η γραμμή με

και αφαιρώντας την 2η γραμμή η $\left( 3 \right)$ γίνεται:

$\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)}&0&0\\ {f\left( 2 \right)}&2&2\\ 2&{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ {f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]\left[ {4f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow 2{\left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle 2f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{f\left( 2 \right)}}{2} = \frac{{f\left( 1 \right)}}{1}\;\left( 4 \right)$

ii. $\displaystyle xf'\left( x \right) - f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = 0$ με $x \ne 0$

Η συνάρτηση $\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ είναι συνεχής στο $\left[ {1,2} \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( {1,2} \right)$ ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

$\displaystyle {g\left( 1 \right) = \frac{{f\left( 1 \right)}}{1}}$ και $\displaystyle {g\left( 2 \right) = \frac{{f\left( 2 \right)}}{2}}$

Από τη σχέση (4) θα είναι $g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right)$ .

Από Θεώρημα Rolle

, υπάρχει ένα τουλάχιστον ${x_o} \in \left( {1,2} \right)$ τέτοιο ώστε $g'\left( {{x_o}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_o}f'\left( {{x_o}} \right) - f\left( {{x_o}} \right) = 0$

sokratis lyras · #4

hlkampel έγραψε:
parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας για τον οποίο ισχύει ${{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{-1}}=A+2I$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{{A}^{2}}=3\mathbb{I} -A}$
ii) Έστω $\displaystyle{ X \,\,\, \nu \, x \, \nu}$ πίνακας για τον οποίο ισχύει $AX-A=4\mathbb{I}-X$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{X=A+\mathbb{I}}$
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R} }$ και το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} f(1)x+y+z=0 \\ f(2)x+2y+2z=0 \\ 2x+f(2)y+2f(1)z =0 \\ \end{matrix} \right}$ με αγνώστους $\displaystyle{x,y,z}$ .
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{\frac{f(2)}{2}=\frac{f(1)}{1}}$
ii) Η εξίσωση $\displaystyle{x{f}'(x)-f(x)=0}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(1,2)}$ .
α) i) ${\left( {A - I} \right)^{ - 1}} = A + 2I \Leftrightarrow \left( {A - I} \right){\left( {A - I} \right)^{ - 1}} = \left( {A - I} \right)\left( {A + 2I} \right) \Leftrightarrow$

$I = {A^2} + 2A - A - 2I \Leftrightarrow {A^2} = 3I - A$ (1)

ii) $\displaystyle {A^2} + A = 3I \Leftrightarrow A\left( {A + I} \right) = 3I \Leftrightarrow {\left( {A + I} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{3}A$ (2)

$AX - A = 4I - X \Leftrightarrow \left( {A + I} \right)X = 4I + A \Leftrightarrow$

${\left( {A + I} \right)^{ - 1}}\left( {A + I} \right)X = {\left( {A + I} \right)^{ - 1}}\left( {4I + A} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)}$

$\displaystyle X = \frac{1}{3}A\left( {4I + A} \right) \Leftrightarrow X = \frac{4}{3}A + \frac{1}{3}{A^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle X = A + \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}{A^2} \Leftrightarrow X = A + \frac{1}{3}\left( {A + {A^2}} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

$\displaystyle X = A + \frac{1}{3}3I \Leftrightarrow X = A + I$

β) i) Αφού το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις θα ισχύει:

$D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 \right)}&1&1\\ {f\left( 2 \right)}&2&2\\ 2&{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} \end{array}} \right| = 0$ (3)

Πολ/ντας την 1η γραμμή με και αφαιρώντας την 2η γραμμή η $\left( 3 \right)$ γίνεται:

$\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)}&0&0\\ {f\left( 2 \right)}&2&2\\ 2&{f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ {f\left( 2 \right)}&{2f\left( 1 \right)} \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]\left[ {4f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow 2{\left[ {2f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle 2f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{f\left( 2 \right)}}{2} = \frac{{f\left( 1 \right)}}{1}\;\left( 4 \right)$

ii. $\displaystyle xf'\left( x \right) - f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = 0$ με $x \ne 0$

Η συνάρτηση $\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ είναι συνεχής στο $\left[ {1,2} \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( {1,2} \right)$ ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

$\displaystyle {g\left( 1 \right) = \frac{{f\left( 1 \right)}}{1}}$ και $\displaystyle {g\left( 2 \right) = \frac{{f\left( 2 \right)}}{2}}$

Από τη σχέση (4) θα είναι $g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right)$ .

Από Θεώρημα , υπάρχει ένα τουλάχιστον ${x_o} \in \left( {1,2} \right)$ τέτοιο ώστε $g'\left( {{x_o}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_o}f'\left( {{x_o}} \right) - f\left( {{x_o}} \right) = 0$

Λίγο πιο απλά για το β:
Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με 2 και να την αφαιρούμε από την 2η.

BAGGP93 · #5

parmenides51 έγραψε:

2. α) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου $\displaystyle{A(1,3), B(-1,0), \Gamma(3,-1)}$
i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το $\displaystyle{A}$ και είναι κάθετη στην ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ .
ii) Έστω $\displaystyle{C}$ ο κύκλος με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{(AB)}$ .
Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας $\displaystyle{B\Gamma}$ με τον παραπάνω κύκλο.
β) Έστω $\displaystyle{\Omega =\left\{ 0,1,2 \right\}}$ ένας δειγματικός χώρος με $\displaystyle{P(0)=2P(2)=\frac{1}{3}}$
i) Να βρείτε το $\displaystyle{P(1)}$
ii) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)={{e}^{x}}-\frac{\lambda }{2}{{x}^{2}}+118,\,\,\,x\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{\lambda \in \Omega }$ .
Θεωρούμε το ενδεχόμενο $\displaystyle{E=\{ \lambda \in \Omega |}$ η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ έχει σημείο καμπής το $\displaystyle{(0,f(0)\}}$ .
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{E}$ .

αi)Η εξίσωση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία $\displaystyle{B\,,\Gamma}$ είναι η

$\displaystyle{y-y_{B}=\frac{y_{\Gamma}-y_{B}}{x_{\Gamma}-x_{B}}\left(x-x_{B}\right)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}\,x-\frac{1}{4}}$

με συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{\lambda_{1}=-\frac{1}{4}}$

Αν με $\displaystyle{\lambda_{2}}$ συμβολίσουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείας, τότε,

$\displaystyle{\lambda_{1}\cdot \lambda_{2}=-1\Rightarrow -\frac{\lambda_{2}}{4}=-1\Rightarrow \lambda_{2}=4}$

Δοθέντος ότι η ζητούμενη ευθεία διερχεται από το σημείο $\displaystyle{A\left(1,3\right)}$ , η εξίσωση της δίνεται από την

$\displaystyle{y-3=4(x-1)\Leftrightarrow y=4x-1}$

αii)Είναι, $\displaystyle{\left(AB\right)=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(0-3\right)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}}$

Η εξίσωση του κύκλου είναι η $\displaystyle{\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=13}$

Οι συντεταγμένες των σημείων τομής θα βρεθούν από τις λύσεις του συστήματος

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=13\\ y=-\frac{1}{4}\,x-\frac{1}{4} \end{matrix}}$

Αντικαθιστώντας την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη έχουμε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \left(x-1\right)^2+\left(-\frac{1}{4}\,x-\frac{13}{4}\right)^2=13&\Leftrightarrow x^2-2x+1+\frac{1}{16}\,x^2+\frac{13}{8}\,x+\frac{169}{16}=13\\&\Leftrightarrow \frac{17}{16}\,x^2-\frac{3}{8}\,x=\frac{23}{16}\\&\Leftrightarrow 17x^2-6x=23\\&\Leftrightarrow x^2-\frac{6}{17}\,x=\frac{23}{17}\\&\Leftrightarrow \left(x-\frac{3}{17}\right)^2=\frac{23}{17}+\frac{9}{17^2}\\&\Leftrightarrow \left(x-\frac{3}{17}\right)^2=\frac{400}{17^2}\\&\Leftrightarrow x=\frac{23}{17}\ \lor x=-1\end{aligned}}$

Τα ζητούμενα σημεία είναι τα

$\displaystyle{\left(\frac{23}{17},-\frac{10}{17}\right)\,\,,\left(-1,0\right)\right)}$

βi)Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} P(0)+P(1)+P(2)=1&\Rightarrow \frac{1}{3}+P(1)+\frac{1}{6}=1\\&\Rightarrow P(1)=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\\&\Rightarrow P(1)=\frac{1}{2}\end{aligned}}$

βii)Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ έχουμε,

$\displaystyle{f^\prime(x)=e^{x}-\lambda\,x\,\,,f''(x)=e^{x}-\lambda}$

Αν $\displaystyle{\lambda=0}$ τότε $\displaystyle{f''(x)=e^{x}>0\,,x\in\mathbb{R}}$ με αποτέλεσμα η $\displaystyle{f}$ να είναι κυρτή

και κατά συνέπεια να μην παρουσιάζει καμπή.

Αν $\displaystyle{\lambda=2}$ , τότε, $\displaystyle{f''(x)>0\ \forall x>\ln 2\,\,,f''(x)<0\ \forall x<\ln 2\,\,,f''(\ln 2)=0}$

και άρα η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει καμπή στο σημείο $\displaystyle{\left(\ln 2,f\left(\ln 2\right)\right)}$

Αν $\displaystyle{\lambda=1}$ , τότε, $\displaystyle{f''(x)>0\ \forall x>0\,\,,f''(x)<0\ \forall x<0\,\,,f''(0)=0}$ .

Έτσι, η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει καμπή στο σημείο $\displaystyle{\left(0,f\left(0\right)\right)}$ .

Συνεπώς, η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με

$\displaystyle{P\left(E\right)=P\left(1\right)=\frac{1}{2}}$

edit:Διόρθωση προσήμου που επηρέαζε την λύση.Ευχαριστώ τον κύριο Καμπελή για την υπόδειξη.

Christos75 · #6

parmenides51 έγραψε: 3. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\eta {{\mu }^{2}}(\alpha x),\,\,x\in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ . Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{{f}''(x)+4{{\alpha }^{2}}f(x)=2}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$
β) Δίνεται η συνάρτηση $f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1,\,\,x\in \mathbb{R}$
i) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)>0 }$ για κάθε $\displaystyle{x \in [1,3]}$
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=1}$ και $\displaystyle{x=3}$ .

Λύση

α)
Μας δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=sin^{2}(\alpha x) ,x,\alpha \in \mathbb{R}}$

και η σχέση $\displaystyle{f''(x)+4\alpha ^{2}f(x)=2}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Αρχικά υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της

και έχω

$\displaystyle{f'(x)=[sin^{2}(\alpha x)]'=2sin(\alpha x).(sin\alpha x)'=2sin(\alpha x).cos(\alpha x).(\alpha x)'=2\alpha.sin(\alpha x).cos(\alpha x)=\alpha sin(2\alpha x)}$

εν συνεχεία, υπολογίζουμε και την δεύτερη παράγωγο

$\displaystyle{f''(x)=[\alpha sin(2\alpha x)]'=\alpha (sin(2\alpha x))'=\alpha cos(2\alpha x).(2\alpha x)'=2\alpha ^{2}cos(2\alpha x)\Leftrightarrow f''(x)=2\alpha ^{2}cos(2\alpha x)}$

Αντικαθιστούμε τα παραπάνω στην δοσμένη σχέση και έχουμε

$\displaystyle{f''(x)+4\alpha ^{2}f(x)=2\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}cos(2\alpha x)+4\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)=2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}(cos^{2}(\alpha x)-sin^{2}(\alpha x))+4\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)=2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)-2\alpha ^{2}cos^{2}(\alpha x)+4\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)=2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}sin^{2}(\alpha x)+2\alpha ^{2}cos^{2}(\alpha x)=2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\alpha ^{2}(sin^{2}(\alpha x)+cos^{2}(\alpha x))=2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \alpha ^{2}.1=1\Leftrightarrow \mid \alpha \mid = 1\Leftrightarrow \alpha =-1\vee \alpha =1}$

β)
i)
΄Εχουμε την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1, x\in \mathbb{R}}$

Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της εν λόγω συνάρτησης

$\displaystyle{f'(x)=(x^{3}-6x^{2}+9x+1)'=3(x^{2}-4x+3) \Leftrightarrow f'(x)=3(x^{2}-4x+3)}$

Θα βρούμε το πρόσημο της παραγώγου και έχουμε $\displaystyle{f'(x)=0\Leftrightarrow 3(x^{2}-4x+3)=0\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\Rightarrow x=1 \vee x=3}$

Από πρόσημο τριωνύμου έχουμε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(-\infty ,1]\cup [3,+\infty )}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[1,3]}$

Αφού η συνάρτηση

είναι γνησίως στο προαναφερθέν διάστημα θα ισχύει

$\displaystyle{1\leq x\leq 3\Rightarrow f(1)\geq f(x)\geq f(3)}$ Αλλά $\displaystyle{f(3)=27-54+27+1=1\Leftrightarrow f(3)=1 }$

Συνεπώς, $\displaystyle{f(x)\geq 1>0\Leftrightarrow f(x)>0}$

ii) Το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από τον τύπο

$\displaystyle{E=\int_{1}^{3}\mid f(x) \mid dx\overset{f(x)>0}{\rightarrow}}$

$\displaystyle{E=\int_{1}^{3}f(x)dx =\int_{1}^{3}(x^{3}-6x^{2}+9x+1)dx= \int_{1}^{3}x^{3}dx-6\int_{1}^{3}x^{2}dx+9\int_{1}^{3}xdx+1.(3-1)=}$

$\displaystyle{[\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}-6[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}+9[\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}+2=...=6}$ τ.μ.

Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999

Μέλη σε σύνδεση