Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

parmenides51 · #1

Ουφ , πάει και το τελευταίο θέμα Δ΄Δέσμης (καλύψαμε όλα τα θέματα από τις χρονιές 1983-2001).
Όταν σχεδόν λυθούν τα θέματα της Δ΄Δέσμης θα συνεχίσω με τα εναπομείναντα της Α΄Δέσμης (1996-2001).

1. α) Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $\displaystyle{[\alpha,\beta]}$ και $\displaystyle{f(\alpha)\ne f(\beta)}$ ,
τότε για κάθε αριθμό $\displaystyle{\xi}$ μεταξύ των $\displaystyle{f(\alpha)}$ και $\displaystyle{f(\beta)}$ υπάρχει τουλάχιστον ένας $\displaystyle{x_o\in (\alpha,\beta)}$ τέτοιος ώστε να ισχύει $\displaystyle{f(x_o)=\xi }$ .
β) Να αποδείξετε ότι:
i ) Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^3+2x-1-\eta \mu 2x\,\, , x\in \mathbb{R}}$ είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Η εξίσωση $\displaystyle{x^3+2x-1=\eta \mu 2x}$ έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(0,1)}$ .

2. α) Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 5x+5y=\lambda z \\ 2x+y=2z \\ x +3y = 3 z \end{matrix} \right}}$ με $\displaystyle{ \lambda\in \mathbb{R} }$
i. Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ για την οποία το σύστημα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις.
ii. Αν $\displaystyle{(x_1, y_1, z_1)}$ και $\displaystyle{(x_2, y_2, z_2)}$ είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x_1x_2 + y_1 y_2 = z_1z_2}$ .
β) Θεωρούμε στο καρτεσιανό επίπεδο $\displaystyle{Oxy}$ τη γραμμή με εξίσωση $\displaystyle{x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0}$
i) Να αποδείξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{O(0,0)}$ και $\displaystyle{A(-6, 8)}$ είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου.

3. α) Η συνάρτηση $\displaystyle{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f'(x) e^{f(x)} dx =0}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{\alpha<\beta}$ .
Να αποδείξετε ότι:
i) $\displaystyle{f(\alpha) = f(\beta)}$
ii) Η εξίσωση $\displaystyle{f'(x)=0}$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(\alpha,\beta)}$ .
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f (x) = 2x + \frac{4}{x}\,\, , x >0}$
i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν $\displaystyle{E(\lambda)}$ του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ ,
τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=\lambda, x=\lambda+1}$ , όπου $\displaystyle{\lambda >0 }$ , είναι $\displaystyle{E(\lambda) = 2\lambda+1+ 4\ln \left(\displaystyle 1+\frac{1}{\lambda} \right)}$
ii) Να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ για την οποία το εμβαδόν $\displaystyle{E(\lambda)}$ γίνεται ελάχιστο.

4. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\int_{ 0}^{x}{x} \sigma \upsilon \nu tdt \,\, , x\in \mathbb{R} }$
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{g'' (x) = 2\sigma \upsilon \nu x - x \eta \mu x \,\, , x \in \mathbb{R} }$ .
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{g}$ στο σημείο $\displaystyle{A\left( \frac{\pi }{2}, g\left( \frac{\pi}{2} \right) \right)}$ .
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{\alpha {{x}^{\text{2}}}+\beta x}{x-2} \,\, , x \in\mathbb{R} -\left\{ 2 \right\}}$ όπου $\displaystyle{\alpha, \beta \in \mathbb{R} }$ .
i) Αν η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon) : y= 2x- 1}$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{+\infty}$ , ποιες είναι οι τιμές των $\displaystyle{\alpha, \beta}$ ;
ii) Έστω $\displaystyle{\Omega = \left\{ \frac{\alpha }{2}, \alpha , \beta , 2 \beta \right\}}$ είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα,
όπου οι $\displaystyle{\alpha, \beta}$ έχουν τις τιμές που προκύπτουν στο προηγούμενο ερώτημα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \frac{1}{12}{{x}^{4}-\frac{1}{3}(\lambda -1) }x^3+ 2x^2+2001\,\,, x \in\mathbb{R} \, \, , \lambda\in\Omega }$
και το ενδεχόμενο $\displaystyle{E=\{ \lambda \in \Omega|}$ η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{ \mathbb{R} \} }$
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{E}$ .

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:

1. α) Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $\displaystyle{[\alpha,\beta]}$ και $\displaystyle{f(\alpha)\ne f(\beta)}$ ,
τότε για κάθε αριθμό $\displaystyle{\xi}$ μεταξύ των $\displaystyle{f(\alpha)}$ και $\displaystyle{f(\beta)}$ υπάρχει τουλάχιστον ένας $\displaystyle{x_o\in (\alpha,\beta)}$ τέτοιος ώστε να ισχύει $\displaystyle{f(x_o)=\xi }$ .
β) Να αποδείξετε ότι:
i ) Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^3+2x-1-\eta \mu 2x\,\, , x\in \mathbb{R}}$ είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Η εξίσωση $\displaystyle{x^3+2x-1=\eta \mu 2x}$ έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(0,1)}$ .

α)Θεώρημα των Ενδιάμεσων Τιμών

βi)Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ έχουμε

$\displaystyle{f^\prime(x)=3x^2+2-2\,\sigma \upsilon \nu\,2x=3x^2+2\left[1-\sigma \upsilon \nu\,\left(2x\right)\right]=3x^2+4\,\eta \mu^2\,x\geq 0}$

με την ισότητα να ισχύει μόνο για $\displaystyle{x=0}$

Επομένως, η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

βii)Για $\displaystyle{x\in\left[0,1\right]}$ είναι,

$\displaystyle{x^3+2x-1=\eta \mu\,2x\Leftrightarrow x^3+2x-1-\eta \mu\,2x=0\Leftrightarrow f(x)=0}$

Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ και $\displaystyle{f(0)\cdot f(1)=-f(1)=\eta \mu\,2-2<0}$ ,

λόγω της $\displaystyle{-x\leq \eta \mu\,x\leq x\,\,,x\geq 0}$ , από το Θεώρημα του Bolzano, έπεται ότι υπάρχει

$\displaystyle{x_0\in\left(0,1\right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x_0)=0}$ , που είναι και μοναδικό, λόγω μονοτονίας

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

4. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\int_{ 0}^{x}{x} \sigma \upsilon \nu tdt \,\, , x\in \mathbb{R} }$
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{g'' (x) = 2\sigma \upsilon \nu x - x \eta \mu x \,\, , x \in \mathbb{R} }$ .
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{g}$ στο σημείο $\displaystyle{A\left( \frac{\pi }{2}, g\left( \frac{\pi}{2} \right) \right)}$ .
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{\alpha {{x}^{\text{2}}}+\beta x}{x-2} \,\, , x \in\mathbb{R} -\left\{ 2 \right\}}$ όπου $\displaystyle{\alpha, \beta \in \mathbb{R} }$ .
i) Αν η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon) : y= 2x- 1}$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{+\infty}$ , ποιες είναι οι τιμές των $\displaystyle{\alpha, \beta}$ ;
ii) Έστω $\displaystyle{\Omega = \left\{ \frac{\alpha }{2}, \alpha , \beta , 2 \beta \right\}}$ είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα,
όπου οι $\displaystyle{\alpha, \beta}$ έχουν τις τιμές που προκύπτουν στο προηγούμενο ερώτημα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \frac{1}{12}{{x}^{4}-\frac{1}{3}(\lambda -1) }x^3+ 2x^2+2001\,\,, x \in\mathbb{R} \, \, , \lambda\in\Omega }$
και το ενδεχόμενο $\displaystyle{E=\{ \lambda \in \Omega|}$ η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{ \mathbb{R} \} }$
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\displaystyle{E}$ .

αi)Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{g(x)=\int_{0}^{x}x\,\sigma \upsilon \nu\,t\,dt=x\int_{0}^{x}\sigma \upsilon \nu\,t\,dt=x\left[\eta \mu\,t\right]_{0}^{x}=x\,\eta \mu\,x}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με,

$\displaystyle{g^\prime(x)=\eta \mu\,x+x\,\sigma \upsilon \nu\,x\,\,,x\in\mathbb{R}}$

Η $\displaystyle{g^\prime}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με,

$\displaystyle{g''(x)=\sigma \upsilon \nu\,x+\sigma \upsilon \nu\,x-x\,\eta \mu\,x=2\,\sigma \upsilon \nu\,x-x\,\eta \mu\,x\,\,,x\in\mathbb{R}}$

αii)Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο της $\displaystyle{A\left(\frac{\pi}{2},f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)}$ , δίνεται από τη σχέση,

$\displaystyle{y-g\left(\frac{\pi}{2}\right)=g^\prime\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow y-\frac{\pi}{2}=x-\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow y=x}$

β)Εφόσον η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=2x-1}$ είναι η ασύμπτωτη του γραφήματος της συνάρτησης $\displaystyle{f}$

στο $\displaystyle{+\infty}$ , έχουμε ότι,

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha\,x^2+\beta\,x}{x^2-2x}=2\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2\left(\alpha+\frac{\beta}{x}\right)}{x^2\left(1-\frac{2}{x}\right)}=2\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha+\frac{\beta}{x}}{1-\frac{2}{x}}=2\\&\Rightarrow \frac{\alpha+0}{1-0}=2\\&\Rightarrow \alpha=2\end{aligned}}$

Έτσι, $\displaystyle{f(x)=\frac{2x^2+\beta\,x}{x-2}\,\,,x\in\mathbb{R}-\left\{2\right\}}$

Επί πλέον,

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-2x\right)=1&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{2x^2+\beta\,x}{x-2}-2x\right)=1\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2+\beta\,x-2x^2+4x}{x-2}=1\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{\left(\beta+4\right)x}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)}=1\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{\beta+4}{1-\frac{2}{x}}=1\\&\Rightarrow \beta+4=1\\&\Rightarrow \beta=-3\end{aligned}}$

βii) $\displaystyle{\Omega=\left\{-6,-3,1,2\right\}}$

Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{g^\prime(x)=\frac{x^3}{3}-\left(\lambda-1\right)x^2+4x\,\,,g''(x)=x^2-2\left(\lambda-1\right)x+4}$

Η $\displaystyle{g}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ αν και μόνο αν $\displaystyle{g''(x)>0\ \forall x\in\mathbb{R}}$ .

Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} g''(x)=x^2-2\left(\lambda-1\right)x+4&=\left[x-\left(\lambda-1\right)\right]^2+4-\left(\lambda-1\right)^2\\&=\left[x-\left(\lambda-1\right)\right]^2+\left[2-\left(\lambda-1\right)\right]\left[2+\left(\lambda-1\right)\right]\\&=\left[x-\left(\lambda-1\right)\right]^2+\left(3-\lambda\right)\left(1+\lambda\right)\end{aligned}}$

Αν $\displaystyle{\lambda=-6}$ , τότε $\displaystyle{g''(x)=\left(x+7\right)^2-45=\left(x+7-\sqrt{45}\right)\left(x+7+\sqrt{45}\right)<0\ \forall x\in\left[-7-\sqrt{45},\sqrt{45}-7\right]}$

Αν $\displaystyle{\lambda=-3}$ , τότε $\displaystyle{g''(x)=\left(x+4\right)^2-12=\left(x+4+2\sqrt{3}\right)\left(x+4-2\sqrt{3}\right)<0\ \forall x\in\left[-4-2\sqrt{3},2\sqrt{3}-4\right]}$

Αν $\displaystyle{\lambda=1}$ , τότε $\displaystyle{g''(x)=x^2+4>0\ \forall x\in\mathbb{R}}$

Αν $\displaystyle{\lambda=2}$ , τότε $\displaystyle{g''(x)=\left(x-1\right)^2+3>0\ \forall x\in\mathbb{R}}$

Άρα, $\displaystyle{E=\left\{1,2\right\}}$ και άρα $\displaystyle{P\left(E\right)=\frac{1}{2}}$

Διαφορετικά, μπορούμε να εργαστούμε ως εξής,

$\displaystyle{\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}:g''(x)>0&\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}:\left[x-\left(\lambda-1\right)\right]^2+\left(3-\lambda\right)\left(1+\lambda\right)>0\\&\Leftrightarrow \left(3-\lambda\right)\left(\lambda+1\right)>0\\&\Leftrightarrow \left[3-\lambda>0\ \land \lambda+1>0\right]\ \lor \left[3-\lambda<0\ \land \lambda+1<0\right]\\&\Leftrightarrow \left[\lambda<3\ \land \lambda>-1\right]\ \lor \left[\lambda>3\ \land \lambda<-1\right]\\&\Leftrightarrow \lambda\in\left(-1,3\right)\cup \varnothing\\&\Leftrightarrow \lambda\in\left(-1,3\right)\\&\Leftrightarrow \lambda\in\left\{1,2\right\}\end{aligned}}$

Αλλιώς, επειδή η $\displaystyle{g''}$ είναι ένα τριώνυμο του $\displaystyle{x}$ με θετικό συντελεστή του $\displaystyle{x^2}$ ,

παίρνει θετικές τιμές αν και μόνο αν η διακρίνουσα της είναι αρνητική, οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \Delta<0&\Leftrightarrow 4\left(\lambda-1\right)^2-16<0\\&\Leftrightarrow \left(\lambda-1\right)^2<4\\&\Leftrightarrow \sqrt{\left(\lambda-1\right)^2}<\sqrt{4}\\&\Leftrightarrow \left|\lambda-1\right|<2\\&\Leftrightarrow -2<\lambda-1<2\\&\Leftrightarrow -1<\lambda<3\\&\Leftrightarrow \lambda\in\left\{1,2\right\}\end{aligned}}$

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

Christos75 · #5

parmenides51 έγραψε: 3. α) Η συνάρτηση $\displaystyle{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f'(x) e^{f(x)} dx =0}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{\alpha<\beta}$ .
Να αποδείξετε ότι:
i) $\displaystyle{f(\alpha) = f(\beta)}$
ii) Η εξίσωση $\displaystyle{f'(x)=0}$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(\alpha,\beta)}$ .
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f (x) = 2x + \frac{4}{x}\,\, , x >0}$
i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν $\displaystyle{E(\lambda)}$ του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ ,
τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=\lambda, x=\lambda+1}$ , όπου $\displaystyle{\lambda >0 }$ , είναι $\displaystyle{E(\lambda) = 2\lambda+1+ 4\ln \left(\displaystyle 1+\frac{1}{\lambda} \right)}$
ii) Να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ για την οποία το εμβαδόν $\displaystyle{E(\lambda)}$ γίνεται ελάχιστο.

Αν και με πρόλαβε ο Ορέστης και για να μην πάει χαμένος ο κόπος παραθέτω κι εγώ την λύση για το εν λόγω θέμα.

Λύση

α)
i) Μας δίνεται η σχέση για την συνάρτηση

: $\displaystyle{\int_{\alpha }^{\beta }f'(x).e^{f(x)}dx=0}$

Θα επεξεργαστούμε αυτήν την σχέση και θα έχουμε

$\displaystyle{\int_{\alpha }^{\beta }f'(x).e^{f(x)}dx = 0\Leftrightarrow \int_{\alpha }^{\beta }(e^{f(x)})'dx = 0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow [e^{f(x)}]_{\alpha }^{\beta } = 0 \Leftrightarrow e^{f(\beta )}-e^{f(\alpha )} = 0 \Leftrightarrow e^{f(\beta )} = e^{f(\alpha )}\overset{e^{f}>0}{\rightarrow} }$

$\displaystyle{lne^{f(\beta )}=lne^{f(\alpha )}\Leftrightarrow f(\alpha ) = f(\beta )}$

ii) Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta ]}$

Η ίδια είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(\alpha ,\beta)}$

και επίσης $\displaystyle{f(\alpha )=f(\beta )}$ από το προηγούμενο ερώτημα

κατά συνέπεια, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις για το θεώρημα Rolle, δηλαδή $\displaystyle{\exists \xi\in (\alpha ,\beta ): f'(\xi) = 0}$ δηλαδή $\xi$ ρίζα της

στο $\displaystyle{(\alpha ,\beta )}$ .

β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=2x+\frac{4}{x}, x > 0}$

Το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από την σχέση
$\displaystyle{E = \int_{\lambda }^{\lambda +1} \mid f(x) \mid dx\overset{f(x)>0}{\rightarrow}}$

$\displaystyle{E = \int_{\lambda }^{\lambda +1} f(x)dx = \int_{\lambda }^{\lambda +1}(2x+\frac{4}{x})dx = \int_{\lambda }^{\lambda +1}2xdx + \int_{\lambda }^{\lambda +1}\frac{4}{x}dx =}$

$\displaystyle{\int_{\lambda }^{\lambda +1}(x^{2})'dx + 4\int_{\lambda }^{\lambda +1}(lnx)'dx = [x^{2}+4lnx]_{\lambda } ^{\lambda +1} =}$

$\displaystyle{(\lambda +1)^{2} + 4ln(\lambda +1)-(\lambda ^{2}+4ln\lambda) = \lambda ^{2} + 2\lambda + 1 + 4ln(\lambda +1) - \lambda ^{2} - 4ln\lambda =}$

$\displaystyle{2\lambda + 1 +4(ln(\lambda +1)-ln\lambda ) = 2\lambda + 1 + 4ln(\frac{\lambda +1}{\lambda }) = 2\lambda + 1 + 4ln(1+\frac{1}{\lambda }), \lambda > 0}$

ii)
Αναζητάμε την τιμή της παραμέτρου $\lambda > 0$ έτσι ώστε το εμβαδόν να ελαχιστοποιείται.

Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης $\displaystyle{E(\lambda )}$ ,

είναι $\displaystyle{E'(\lambda ) = (2\lambda + 1 + 4ln(1+\frac{1}{\lambda }))' = 2 + 4(ln(1+\frac{1}{\lambda }))' = 2 + 4\frac{1}{1+\frac{1}{\lambda }}.(1+\frac{1}{\lambda })' =}$

$\displaystyle{2 + \frac{4\lambda }{\lambda +1}.(-\frac{1}{\lambda ^{2}}) = 2 - \frac{4\lambda }{\lambda +1}.\frac{1}{\lambda ^{2}} = 2 - \frac{4}{\lambda (\lambda +1)} =}$

$\displaystyle{\frac{2\lambda ^{2}+2\lambda -4}{\lambda (\lambda +1)}, \lambda > 0}$

Αναζητούμε το πρόσημο της $\displaystyle{E'(\lambda )}$ και έχουμε

$\displaystyle{E'(\lambda )=0\xrightarrow[\lambda >0]{\lambda (\lambda +1)>0} 2\lambda ^{2} + 2\lambda - 4 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 1 \vee \lambda = - 2}$

η τελευταία τιμή για το $\displaystyle{\lambda}$ απορρίπτεται αφού $\displaystyle{\lambda > 0}$ οπότε δεκτή είναι μόνο η $\displaystyle{\lambda = 1}$

με πρόσημο τριωνύμου και πάλι διαπιστώνουμε ότι η ελάχιστη τιμή του εμβαδού επιτυγχάνεται για $\displaystyle{\lambda = 1}$

BAGGP93 · #6

parmenides51 έγραψε:

2. α) Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 5x+5y=\lambda z \\ 2x+y=2z \\ x +3y = 3 z \end{matrix} \right}}$ με $\displaystyle{ \lambda\in \mathbb{R} }$
i. Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ για την οποία το σύστημα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις.
ii. Αν $\displaystyle{(x_1, y_1, z_1)}$ και $\displaystyle{(x_2, y_2, z_2)}$ είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x_1x_2 + y_1 y_2 = z_1z_2}$ .
β) Θεωρούμε στο καρτεσιανό επίπεδο $\displaystyle{Oxy}$ τη γραμμή με εξίσωση $\displaystyle{x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0}$
i) Να αποδείξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{O(0,0)}$ και $\displaystyle{A(-6, 8)}$ είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου.

Καλησπέρα.

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 5x+5y=\lambda\,z\\ 2x+y\,\,=2z\\ x+3y\,\,=3z \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5x+5y-\lambda\,z=0\\ 2x+y-\,\,\,2z=0\\ x+3y-\,\,\,3z=0 \end{matrix}}$

Έστω $\displaystyle{A=\left(\begin{matrix} 5 & 5 & -\lambda\\ 2 & 1 & \,\,-2\\ 1 & 3 & \,\,-3 \end{matrix}\right)}$

ο πίνακας των πραγματικών συντελεστών των αγνώστων του συστήματος.

Για τον υπολογισμό της ορίζουσας εκτελούμε τις εξής γραμμοπράξεις, $\displaystyle{\Gamma_{1}\to \Gamma_{1}-5\Gamma_{3}\,\,,\Gamma_{2}\to \Gamma_{2}-2\Gamma_{3}}$ και έχουμε

$\displaystyle{\left|A\right|=\begin{vmatrix} 0 & -10 & 15-\lambda\\ 0 & -5 & 4\\ 1 & 3 & \,\,-3 \end{vmatrix}=\left(-1\right)^{1+3}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix} -10 & 15-\lambda\\ -5 & \,\,4 \end{vmatrix}=-40+75-5\lambda=5\left(7-\lambda\right)}$

Αν $\displaystyle{\left|A\right|\neq 0\Leftrightarrow \lambda\neq 7}$ , τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{\left(0,0,0\right)}$

Αν $\displaystyle{\lambda=7}$ , τότε το σύστημα γράφεται

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 5x+5y-7z=0\\ 2x+y-2z=0\\ x+3y-3z=0 \end{matrix}}$

Εκτελώντας, στον επαυξημένο πίνακα, τις ίδιες γραμμοπράξεις με αυτές στον υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων, έχουμε

ότι το παραπάνω σύστημα είναι ισοδύναμο με το

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} -10y+8z=0\\ -5y+4z=0\\ x+3y-3z=0 \end{matrix}}$

Από την δεύτερη εξίσωση είναι $\displaystyle{y=\frac{4}{5}\,z}$ και αντικαθιστώντας στην τρίτη παίρνουμε, $\displaystyle{x=\frac{3}{5}\,z}$

Επομένως, για $\displaystyle{\lambda=7}$ έχουμε άπειρες λύσεις, άρα και τουλάχιστον δύο διαφορετικές, της παρακάτω μορφής.

$\displaystyle{X=\left(x,y,z\right)=\left(\frac{3}{5}\,z,\frac{4}{5}\,z,z\right)\,\,,z\in\mathbb{R}}$

Αν τώρα $\displaystyle{\left(x_1,y_1,z_1\right)\,\,,\left(x_2,y_2,z_2\right)}$ είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, τότε βρισκόμαστε στην

περίπτωση όπου $\displaystyle{\lambda=7}$ και $\displaystyle{\left(x_1,y_1,z_1\right)=\left(\frac{3}{5}\,z_1,\frac{4}{5}\,z_1,z_1\right)$ και

$\displaystyle{\left(x_2,y_2,z_2\right)=\left(\frac{3}{5}\,z_2,\frac{4}{5}\,z_2,z_2\right)$

Έτσι,

$\displaystyle{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2=\frac{9}{25}\,z_1\cdot z_2+\frac{16}{25}\,z_1\cdot z_2=z_1\cdot z_2}$

βi)Για $\displaystyle{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}}$ είναι,

$\displaystyle{x^2+y^2+6x-8y=0\Leftrightarrow \left(x^2+6x+9\right)+\left(y^2-8y+16\right)=9+16\Leftrightarrow \left(x+3\right)^2+\left(y-4\right)^2=25}$

Επομένως, η αρχική εξίσωση παριστάνει κύκλο κέντρου $\displaystyle{K\left(-3,4\right)}$ και ακτίνας $\displaystyle{r=\sqrt{25}=5}$

βii)Αρχικά παρατηρούμε ότι τα σημεία $\displaystyle{O,A}$ ανήκουν στον κύκλο διότι $\displaystyle{(0+3)^2+(0-4)^2=3^2+4^2=5^2=25}$ και

$\displaystyle{(-6+3)^2+(8-4)^2=(-3)^2+4^2=3^2+4^2=5^2=25}$

Επομένως, το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{\left(OA\right)}$ είναι μια χορδή του παραπάνω κύκλου και επειδή

$\displaystyle{\left(OA\right)=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10=2\cdot r}$ , έπεται ότι το $\displaystyle{\left(OA\right)}$ είναι διάμετρος του κύκλου.

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

Μέλη σε σύνδεση