Εύκολη απόδειξη

Panagiotis11 · #1

Να αποδείξετε ότι :

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}=[\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}]^{2}$

Η άσκηση καλό θα ήταν να λυθεί πρωτίστως από μαθητές

Αφιερωμένη στον φίλο Κατερινόπουλο Νικόλα

JimNt. · #2

Νομίζω πρέπει να δοθεί ότι $a \neq b \neq c \neq a$ ώστε η παράσταση να ορίζεται.

Panagiotis11 · #3

Panagiotis11 έγραψε:Να αποδείξετε ότι :

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}=[\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}]^{2}$

Δίνεται ότι $a\neq b\neq c\neq a$ (Ευχαριστώ τον JimNt για την επισήμανση)

Η άσκηση καλό θα ήταν να λυθεί πρωτίστως από μαθητές

Αφιερωμένη στον φίλο Κατερινόπουλο Νικόλα

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

Panagiotis11 έγραψε:Να αποδείξετε ότι :

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}=[\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}]^{2}$

Δίνεται ότι $a\neq b\neq c\neq a$

Η άσκηση καλό θα ήταν να λυθεί πρωτίστως από μαθητές

Αφιερωμένη στον φίλο Κατερινόπουλο Νικόλα

Ευχαριστώ πολύ το Χάρη για τη διόρθωση!

Άρα, είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}=\left [\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right ]^{2} \Rightarrow}$

$\left ( \dfrac{1}{a-b} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{b-c} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{a-c} \right )^{2}=\left ( \dfrac{1}{a-b} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{b-c} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{a-c} \right )^{2}+$ $\dfrac{2}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{2}{(b-c)(c-a)}+\dfrac{2}{(a-b)(c-a)}\Rightarrow$

$\displaystyle{\dfrac{2\cdot 0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0 \Rightarrow \boxed{0=0}}$ που ισχύει.

harrisp · #5

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Panagiotis11 έγραψε:Να αποδείξετε ότι :

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}=[\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}]^{2}$

Δίνεται ότι $a\neq b\neq c\neq a$

Η άσκηση καλό θα ήταν να λυθεί πρωτίστως από μαθητές

Αφιερωμένη στον φίλο Κατερινόπουλο Νικόλα
$\displaystyle{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}=\left[\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right ]^{2}\Rightarrow$

$\displaystyle{\left ( \frac{1}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{b-c} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{a-c} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{b-c} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{a-c} \right )^{2}$ $\displaystyle{+\frac{2}{(a-b)(b-c)}+\frac{2}{(b-c)(a-c)}+\frac{2}{(a-b)(a-c)}} \Rightarrow$

$\displaystyle{\frac{2}{(a-b)(b-c)}+\frac{2}{(b-c)(a-c)}+\frac{2}{(a-b)(a-c)}}=0 \Rightarrow$

$\dfrac{2(a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)}+\dfrac{2(b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}+\dfrac{2(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} \Rightarrow$

$\dfrac{2(b-c+a-c+a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)}=0 \Rightarrow$

$\dfrac{2(2a-2c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} \Rightarrow$

$\dfrac{4}{(a-b)(b-c)}=0$

Εδώ προβληματίζομαι... Έχω κάνει κάπου λάθος; Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει;

Εκανες αυτό μέσα στο τετράγωνο a-c=c-a

που είναι σωστο.

Αλλά το έκανες και στα γινόμενα που είναι λάθος ΕΚΤΟΣ αν αλλάξεις πρόσημο που δεν το έκανες.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #6

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Εκανες αυτό μέσα στο τετράγωνο που είναι σωστο.

Αλλά το έκανες και στα γινόμενα που είναι λάθος ΕΚΤΟΣ αν αλλάξεις πρόσημο που δεν το έκανες.

Ευχαριστώ Χάρη!

#7

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Άρα, είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}=\left [\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right ]^{2} \Rightarrow}$

$\left ( \dfrac{1}{a-b} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{b-c} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{a-c} \right )^{2}=\left ( \dfrac{1}{a-b} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{b-c} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{a-c} \right )^{2}+$ $\dfrac{2}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{2}{(b-c)(c-a)}+\dfrac{2}{(a-b)(c-a)}\Rightarrow$

$\displaystyle{\dfrac{2\cdot 0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0 \Rightarrow \boxed{0=0}}$ που ισχύει.

Καλησπέρα σε όλους. Ελπίζω να μού επιτρέπετε μια παρέμβαση με δυο παρατηρήσεις.

Για να αποδείξω μια ταυτότητα, επιτρέπεται, βεβαίως, να θεωρήσω αρχικά: " Έστω ότι υπάρχουν πραγματικοί a, b, c

, που εμπίπτουν στους περιορισμούς μου και ικανοποιούν την προς απόδειξη σχέση".

Κατόπιν κάνω ισοδύναμους μετασχηματισμούς και καταλήγω με μια σχέση που ισχύει. Επιστρέφοντας, τότε, μέσω των ισοδυναμιών συμπεραίνω ότι ισχύει και η αρχική σχέση. Αυτό σημαίνει ότι οι συνεπαγωγές πρέπει να αντικατασταθούν με ισοδυναμίες.

Επίσης, είναι κομψότερο εδώ να ξεκινήσουμε από το 2ο μέλος της προς απόδειξη ισότητας, να αναπτύξουμε το τετράγωνο και διαγράφοντας τον μηδενικό όρο να καταλήξουμε στο 1ο μέλος, παρά να καταλήξουμε στο 0=0

, αν και αυτό είναι θέμα προτίμησης και αισθητικής.

Τέλος, παρατηρήστε ότι αρκεί να αντικατασταθούν οι παρονομαστές με x, y, z

όπου

. Ξεκινώντας με αυτή τη σχέση βάζουμε στη θέση τους ότι θέλουμε, αρκεί να έχουν άθροισμα

και κατασκευάζουμε τέτοιες ταυτότητες για να εξασκούνται (και κάποιες φορές να βασανίζονται) οι μαθητές μας.

Εύκολη απόδειξη

Εύκολη απόδειξη

Re: Εύκολη απόδειξη

Re: Εύκολη απόδειξη

Re: Εύκολη απόδειξη

Re: Εύκολη απόδειξη

Re: Εύκολη απόδειξη

Re: Εύκολη απόδειξη

Μέλη σε σύνδεση