Πρώτος αριθμός

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Απάντηση
Joaakim
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Πρώτος αριθμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Πέμ Δεκ 10, 2020 3:21 pm

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη ακεραίων αριθμών (x, y), που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός
x^4 + 4y^4 να είναι πρώτος.


Λέξεις Κλειδιά:
Πρώτος-Αριθμός
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18255
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος αριθμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 10, 2020 3:25 pm

Joaakim έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 3:21 pm
 Να βρεθούν όλα τα ζεύγη ακεραίων αριθμών (x, y), που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός
x^4 + 4y^4 να είναι πρώτος.
Είναι πολύύύύύ κλασική. Άμεση μέσω της ταυτότητας

x^4 + 4y^4= (x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2), και λοιπά.


Κορυφή
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 838
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Πρώτος αριθμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Δεκ 10, 2020 4:01 pm

Είναι η ταυτότητα της Sophie-Germain. Ουσιαστικά πάνω σε αυτη την άσκηση φτιάχτηκε το πρώτο θέμα του φετινού Θαλή της Α' λυκείου!


Κορυφή
Joaakim
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πρώτος αριθμός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Πέμ Δεκ 10, 2020 6:14 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 3:25 pm
Joaakim έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 3:21 pm
 Να βρεθούν όλα τα ζεύγη ακεραίων αριθμών (x, y), που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός
x^4 + 4y^4 να είναι πρώτος.
Είναι πολύύύύύ κλασική. Άμεση μέσω της ταυτότητας

x^4 + 4y^4= (x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2), και λοιπά.
Ας δούμε και την υπόλοιπη λύση. Η εξίσωση γίνεται
((x+y)^2+y^2)((x-y)^2+y^2)=p
Είναι τώρα (x+y)^2+y^2>=(x-y)^2+y^2, p>1, άρα έχουμε το σύστημα
(x+y)^2+y^2=p
(x-y)^2+y^2=1

Η δεύτερη δίνει ότι (x-y)^2=1 και y^2=0, ή, (x-y)^2=0 και y^2=1 <=>x=+-1 και y=0, ή, x=y=+-1
Για ( x, y)=(+-1,0) όμως είναι p=1, άτοπο.
Για ( x, y)=(+-1,+-1) είναι p=5, που είναι δεκτό.

Τελικά ( x, y)=(-1,-1),(-1,+1),(+1,+1)


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18255
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος αριθμός

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 10, 2020 7:31 pm

Joaakim έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 6:14 pm
 Ας δούμε και την υπόλοιπη λύση. Η εξίσωση γίνεται
((x+y)^2+y^2)((x-y)^2+y^2)=p
Είναι τώρα (x+y)^2+y^2>=(x-y)^2+y^2, p>1, άρα έχουμε το σύστημα
(x+y)^2+y^2=p
(x-y)^2+y^2=1

Η δεύτερη δίνει ότι (x-y)^2=1 και y^2=0, ή, (x-y)^2=0 και y^2=1 <=>x=+-1 και y=0, ή, x=y=+-1
Για ( x, y)=(+-1,0) όμως είναι p=1, άτοπο.
Για ( x, y)=(+-1,+-1) είναι p=5, που είναι δεκτό.

Τελικά ( x, y)=(-1,-1),(-1,+1),(+1,+1)
Σωστά, εκτός από ένα λαθάκι εδώ (x+y)^2+y^2\ge (x-y)^2+y^2 που όμως εύκολα διορθώνεται (η ανισότητα που γράφεις δεν ισχύει για π.χ. x=100, y=-100).

Κάπως διαφορετικά, η περίπτωση y=0, άμεση όπως επίσης η x=\pm y που δίνει x^4 + 4y^4 = 5x^4, και άρα είναι πρώτος μόνο αν x^4=1, και λοιπά.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι y\ne 0 και x\ne \pm y. Τότε

x^2-2xy+2y^2= (x-y)^2+y^2 \ge 1^2+1^2>1 και όμοια x^2+2xy+2y^2 >1 άρα το γινόμενό τους είναι μη πρώτος.


Κορυφή
Joaakim
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πρώτος αριθμός

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Πέμ Δεκ 10, 2020 7:37 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 7:31 pm
Joaakim έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 6:14 pm
 Ας δούμε και την υπόλοιπη λύση. Η εξίσωση γίνεται
((x+y)^2+y^2)((x-y)^2+y^2)=p
Είναι τώρα (x+y)^2+y^2>=(x-y)^2+y^2, p>1, άρα έχουμε το σύστημα
(x+y)^2+y^2=p
(x-y)^2+y^2=1

Η δεύτερη δίνει ότι (x-y)^2=1 και y^2=0, ή, (x-y)^2=0 και y^2=1 <=>x=+-1 και y=0, ή, x=y=+-1
Για ( x, y)=(+-1,0) όμως είναι p=1, άτοπο.
Για ( x, y)=(+-1,+-1) είναι p=5, που είναι δεκτό.

Τελικά ( x, y)=(-1,-1),(-1,+1),(+1,+1)
Σωστά, εκτός από ένα λαθάκι εδώ (x+y)^2+y^2\ge (x-y)^2+y^2 που όμως εύκολα διορθώνεται (η ανισότητα που γράφεις δεν ισχύει για π.χ. x=100, y=-100).

Κάπως διαφορετικά, η περίπτωση y=0, άμεση όπως επίσης η x=\pm y που δίνει x^4 + 4y^4 = 5x^4, και άρα είναι πρώτος μόνο αν x^4=1, και λοιπά.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι y\ne 0 και x\ne \pm y. Τότε

x^2-2xy+2y^2= (x-y)^2+y^2 \ge 1^2+1^2>1 και όμοια x^2+2xy+2y^2 >1 άρα το γινόμενό τους είναι μη πρώτος.
Σας ευχαριστώ πολύ για την παρατήρησή σας!


Κορυφή
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 838
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Πρώτος αριθμός

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Δεκ 10, 2020 7:42 pm

Αγαπητέ Ιωακείμ επειδή διακρίνω ένα νέο παιδί που έχει όρεξη για τα μαθηματικά θα σου πρότεινα να κοιτάξεις το πρώτο θέμα του Αρχιμήδη του 2013 το οποίο την επόμενη χρονιά αντέγραψε το Ισραήλ! Έχει άμεση σχέση με την άσκηση που έβαλες!


Κορυφή
Joaakim
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πρώτος αριθμός

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Πέμ Δεκ 10, 2020 8:05 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 7:42 pm
 Αγαπητέ Ιωακείμ επειδή διακρίνω ένα νέο παιδί που έχει όρεξη για τα μαθηματικά θα σου πρότεινα να κοιτάξεις το πρώτο θέμα του Αρχιμήδη του 2013 το οποίο την επόμενη χρονιά αντέγραψε το Ισραήλ! Έχει άμεση σχέση με την άσκηση που έβαλες!
Λογικά θα εννοείτε το υποερώτημα α). Είναι λοιπόν
k^4+4=(k^2)^2+2^2=(k^2+2)^2-2*k^2*2=(k^2+2)^2-(2k)^2=(k^2+2k+2)(k^2-2k+2)=((k^2+2k+1)+1)((k^2-2k+1)+1)=((k+1)^2+1)((k-1)^2+1)
Επίσης έχω να πω ότι είστε ιδιαίτερα διορατικός :) .


Κορυφή
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 838
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Πρώτος αριθμός

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Δεκ 10, 2020 8:15 pm

Joaakim έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 8:05 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 7:42 pm
 Αγαπητέ Ιωακείμ επειδή διακρίνω ένα νέο παιδί που έχει όρεξη για τα μαθηματικά θα σου πρότεινα να κοιτάξεις το πρώτο θέμα του Αρχιμήδη του 2013 το οποίο την επόμενη χρονιά αντέγραψε το Ισραήλ! Έχει άμεση σχέση με την άσκηση που έβαλες!
Λογικά θα εννοείτε το υποερώτημα α). Είναι λοιπόν
k^4+4=(k^2)^2+2^2=(k^2+2)^2-2*k^2*2=(k^2+2)^2-(2k)^2=(k^2+2k+2)(k^2-2k+2)=((k^2+2k+1)+1)((k^2-2k+1)+1)=((k+1)^2+1)((k-1)^2+1)
Επίσης έχω να πω ότι είστε ιδιαίτερα διορατικός :) .
Κοίταξε και το ερώτημα Β αλλά επίσης μπορείς να δεις και το υπέροχο δεύτερο θέμα του περσινου Ευκλείδη της Β λυκείου


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17445
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πρώτος αριθμός

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 10, 2020 9:00 pm

Για μια ακόμη εφαρμογή της ταυτότητας , βλέπε και αυτό


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18255
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος αριθμός

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 10, 2020 9:12 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 7:42 pm
 το πρώτο θέμα του Αρχιμήδη του 2013 το οποίο την επόμενη χρονιά αντέγραψε το Ισραήλ!
Νίκο, θα ήταν πολύ τιμητικό αυτό αλλά (εν γένει) δεν είναι κατ' ανάγκη σωστό το συμπέρασμα ότι ο χρονολογικά επόμενος αντέγραψε από τον προγενέστερο. Το πιθανότερο είναι ότι οι δύο χώρες έχουν κοινή πηγή. Συγκεκριμένα, όταν γίνεται η ΙΜΟ, η BMO και λοιπά, όλες οι χώρες ανταλλάζουν μεταξύ τους τις short list των διαγωνισμών της δικής τους πατρίδας, με την υπόσχεση να μην τα δημοσιοποιήσουν για 12 μήνες. Και αυτό γιατί όλοι θέλουν να έχουν μία καλή πηγή ώστε να αντλήσουν θέματα για τους δικούς τους εσωτερικούς διαγωνισμούς. Είναι αυτονόητο ότι είναι εξαιρετικά δύσκολο να κατασκευάσει κανείς καλά θέματα για τους σκληρούς Διαγωνισμούς, οπότε υπάρχει μία συμφωνία κυρίων να κρατούν κρυφά για ένα χρόνο τα θέματα των υπολοίπων, "προς πάσαν χρήσιν".

Για το συγκεκριμένο θέμα, δεν γνωρίζω αν όντως είναι Ελληνικό αλλά σπεύδω να τονίσω ότι οι δικοί μας θεματοθέτες δεν έχουν τίποτα να ζηλέψουν από τους ξένους. Κατσκευάζουν ωραιότατα θέματα, οπότε για κάθε θέμα που δανιζόμαστε, κάποιο άλλο θα δανίσουμε, και αντίστροφα. Δούναι και λαβείν με την καλή έννοια αφού είναι χρήσιμο τα καλά θέματα να μην καίγονται με μία μόνο χρήση.


Κορυφή
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 838
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Πρώτος αριθμός

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Δεκ 10, 2020 9:30 pm

Κύριε Μιχάλη καλησπέρα! Όλα αυτά που λέτε εννοείται πως τα γνωρίζω! Αλλωστε δεν είναι κακό η "αντιγραφή" ωραίων θεμάτων! Όμως το Ισραήλ έβαλε το θέμα ένα χρόνο μετά στον δικό του τελικό γυρο οπότε θα είχε δημοσιευτεί η shortlist.. Επίσης το Ισραήλ για να το δυσκολέψει λίγο αφαίρεσε το πρωτο ερώτημα 😀


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης