Η εις άτοπον απαγωγή

#1

Αν $\displaystyle{3x^2 -2(2xy -yz +xz) = -8}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x^2 +y^2 +z^2 \neq 4}$

gb1234 · #2

Καλησπέρα! Υποθέτω ότι $\small x^2+y^2+z^2=4$
Άρα θα είναι,
$\small 3x^2-2(2xy-yz+xz)=-8=-2(4)=-2(x^2+y^2+z^2)$ $\Leftrightarrow 3x^2-4xy+2yz-2xz= -2x^2-2y^2-2z^2$ $\Leftrightarrow 5x^2+2y^2+2z^2-4xy+2yz-2xz=0\Leftrightarrow (2x-y)^2+(y+z)^2+(x-z)^2=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{y}{2} \wedge y=-z \wedge x=z$
Από τις τελευταίες λαμβάνω εύκολα ότι: $\small x=y=z=0\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=0$ , άτοπο αφού αρχικά υποθέσαμε ότι $\small x^2+y^2+z^2=4$ . Συνεπώς, $\small x^2+y^2+z^2\neq 4$ $\small \blacksquare$

Η εις άτοπον απαγωγή

Η εις άτοπον απαγωγή

Re: Η εις άτοπον απαγωγή

Μέλη σε σύνδεση