Αυτή θα την λύσει μαθητής

cool geometry · #1

Να λύσετε στους πρώτους αριθμούς την εξίσωση p(q+p)=r+120(E)

.
είναι πολύ απλή, ας την αφήσουμε για τους μαθητές μας.
είμαι περίεργος να δω τι θα κάνουν όσοι δεν ξέρουν εξισώσεις με διακρίνουσα!!

Κυριάκος Τσουρέκας · #2

Καλημέρα,
Διακρίνουμε 3 περιπτώσεις.

1η περίπτωση:
Οι p, q

είναι περιττοί. Τότε πρέπει $RHS= even \implies r=2$ και άρα p(p+q)=2*61

αυτό όμως είναι αδύνατο για p, q

περιττούς.

2η περίπτωση
Ο

είναι άρτιος. με παρόμοιους ισχυρισμούς παίρνουμε ότι r=2

η οποία δίνει q=59

και επομένως έχουμε τη λύση (p, q, r)=(2, 59, 2)

3η περίπτωση
q=2

η (Ε) γράφεται: $p^2+2p+1=r+121 \implies (p+1)^2=121+r \implies (p-10)(p+12)=r \implies p-10=1 \implies p=11$
και άρα r=23

επομένως σε αυτή την περίπτωση έχουμε τη λύση (p, q, r)=(11, 2, 23)

Αυτές οι δύο λύσεις είναι και οι μοναδικές.

Σημείωση: Η λύση με διακρίνουσα στην τρίτη περίπτωση είναι παρόμοια με την παραγοντοποίηση

Lymperis Karras · #3

cool geometry έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 10, 2022 7:31 am
Να λύσετε στους πρώτους αριθμούς την εξίσωση .
είναι πολύ απλή, ας την αφήσουμε για τους μαθητές μας.
είμαι περίεργος να δω τι θα κάνουν όσοι δεν ξέρουν εξισώσεις με διακρίνουσα!!

Αν όλοι είναι περιττοί τότε έχουμε άτοπο από mod 2.

Έστω ότι p=2

.
Τότε $r = 0 mod2 \implies r=2$ και $q+2 = 61 \implies q=59$ .

Έστω ότι q=2

.
Τότε $p^2 + 2p = r + 120 \implies (p+1)^2 = r + 121 \implies r=(p+12)(p-10) \implies p-10 =1 \implies p=11, r=23$ .

Έστω ότι r=2

. Τότε $p | 122 \implies p=2, p=61$
Αν p=2

Τότε

Αν

άτοπο καθώς LHS > 61^2 > 122

Edit: με πρόλαβε ο Κυριάκος όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο

cool geometry · #4

Σας ευχαριστώ και τους δύο για τις υποδειγματικές σας λύσεις.

Αυτή θα την λύσει μαθητής

Αυτή θα την λύσει μαθητής

Re: Αυτή θα την λύσει μαθητής

Re: Αυτή θα την λύσει μαθητής

Re: Αυτή θα την λύσει μαθητής

Μέλη σε σύνδεση