Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

#1

α) (Προθέρμανση για το β' ερώτημα). Δείξτε ότι όσο μεγαλώνει ο φυσικός αριθμός

, τόσο μικραίνει η διαφορά $\sqrt {N+100} - \sqrt N$ .

β) Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός

που ικανοποιεί $\sqrt {N+100} - \sqrt N <1$ .

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας).

cool geometry · #2

εύκολη άσκηση

cool geometry · #3

πολύ απλό και το δεύτερο ερώτημα, απλά έχει πολλές πράξεις.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #4

Η συνάρτηση νομίζω θα έπρεπε να ήταν: $f(x)= \sqrt{x+100}- \sqrt{x}$ . Αρκεί να αποδείξω πως η

είναι γνησίως φθίνουσα. Εκτός φακέλου είναι: $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+100}}-\frac{1}{2\sqrt{x}} <0$ , αφού: $\sqrt{N}<\sqrt{N+1}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{N+1}}<\frac{1}{2\sqrt{N}}$ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Για το δεύτερο ερώτημα: $0<\sqrt{N+100}-\sqrt{N}<1\Leftrightarrow N+100+N-2\sqrt{N(N+100)}<1 \Leftrightarrow 2N+99<2\sqrt{N(N+100)}\Leftrightarrow 4N^2++396N+99^2<4N^2+400N\Leftrightarrow 4N>99^2\Leftrightarrow N\geq 2451$ .

Άρα, η ελάχιστη τιμή του

είναι:

(Η λύση εντός φακέλου για το α) θα ήταν να δείξω πως: f(x+1)>f(x)

με τετράγωνα όπως παραπάνω.)

#5

Έσβησα το μήνυμά μου αφού σβήστηκε και το αντίστοιχο το οποίο σχολίαζα.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 13, 2022 11:41 pm
α) (Προθέρμανση για το β' ερώτημα). Δείξτε ότι όσο μεγαλώνει ο φυσικός αριθμός , τόσο μικραίνει η διαφορά $\sqrt {N+100} - \sqrt N$ .

β) Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός που ικανοποιεί $\sqrt {N+100} - \sqrt N <1$ .

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας).

Γράφω την λύση που είχα κατά νου:

α) Αφού η $\sqrt {N+100} + \sqrt N$ είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα από δύο γνήσια αύξουσες, έχουμε ότι η

$\sqrt {N+100} - \sqrt N = \dfrac {100} {\sqrt {N+100} + \sqrt N}$ είναι γνήσια φθίνουσα.

β) (Υψώνουμε στο τετράγωνο όπως ο Φίλιππος παραπάνω, αλλά πρώτα κάνουμε μικρή επεξεργασία). Έχουμε τις ισοδυναμίες

$\displaystyle{ (0 < \sqrt {N+100} - \sqrt N < 1 ) \Leftrightarrow (\sqrt {N+100} < \sqrt N+1 ) \Leftrightarrow (N+100 < N + 2\sqrt N+1 ) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow (49,5 < \sqrt N ) \Leftrightarrow (N > 2450,25 ) }$ .

Συνεπώς το ζητούμενο

είναι το

.

Aν θέλουμε και έλεγχο, το κομπιουτεράκι δίνει για N=2451

ότι $\sqrt {N+100} - \sqrt N= \sqrt {2551} - \sqrt {2451}= 0,999850018 < 1$ ενώ για N=2450

έχουμε $\sqrt {N+100} - \sqrt N= \sqrt {2550} - \sqrt {2450}= 1,000050009 > 1$ .

cool geometry · #7

Κύριε Λάμπρου, έξυπνα εντός φακέλου γράψατε το πρώτο.
εγώ είπα $f(x)=\sqrt{x+100}-\sqrt{x},$ άρα παραγωγίζοντας παίρνουμε:
$f{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+100}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}< 0,$ που ισχύει.
απόδειξη του ότι ισχύει: είναι $2\sqrt{x+100}> 2\sqrt{x}\Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x+100}}< \frac{1}{2\sqrt{x}},$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

cool geometry · #8

Οι μικροί μας φίλοι δεν γνωρίζουν την μονοτονία.

#9

cool geometry έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 14, 2022 4:43 pm
μπορούμε να γενικεύσουμε το συμπέρασμα , δηλαδή να πούμε ότι:
αν φυσικοί αριθμοί, τότε πάντα θα ισχύει ότι η συνάρτηση $f(n)=\sqrt{m+n}-\sqrt{n}$ είναι γνησίως φθίνουσα.
Απόδειξη:
παραγωγίζοντας τη συνάρτηση παίρνουμε: $f{'}(n)=\frac{1}{2\sqrt{m+n}}-\frac{1}{2\sqrt{n}},$ όμως ισχύει ότι:
$2\sqrt{m+n}> 2\sqrt{n}\Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{m+n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}\Leftrightarrow f{'}(n)< 0$
άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, όπως θέλαμε.

H απόδειξη που έγραψα παραπάνω, η οποία είναι προσιτή και σε μικρούς μαθητές, καλύπτει και αυτή την περίπτωση (και λίγο γενικότερα για $m, \, n$ θετικoύς πραγματικούς αντί απλά θετικούς φυσικούς). Ας το δούμε: Για κάθε σταθερό a>0

και για

έχουμε

$f(x) = \sqrt{a+x}-\sqrt{x} = \dfrac {a} {\sqrt{a+x}+\sqrt{x}}$ , που είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση του

αφού η $\sqrt{a+x}+\sqrt{x}$ είναι προφανώς γνήσια αύξουσα.

Ας προσθέσω ότι η παραπάνω απόδειξη με παραγώγους έχει ένα πρόβλημα (που ευτυχώς διορθώνεται και ουσιαστικά αυτό ήδη υπάρχει στο προ-προηγούμενο ποστ). Συγκεκριμένα δεν μπορούμε να παραγωγίσουμε συναρτήσεις που είναι ορισμένες μόνο σε διακριτά σημεία, όπως π.χ. οι φυσικοί ααριθμοί. Ο ορισμός της παραγώγου και η απόδειξη του θεωρήματος που επικαλούμαστε χρειάζεται την συνάρτηση να είναι ορισμένη τουλάχιστον σε ένα διάστημα γύρω από το σημείο παραγώγισης. Γι' αυτό έκανα και την γενίκευση που έγραψα ώστε να σώζεται (στο νέο πεδίο ορισμού) και η παραπάνω απόδειξη με παραγώγους.

cool geometry · #10

Ναι, ακριβώς!!!

cool geometry · #11

για όλους τους θετικούς πραγματικούς ισχύει αυτό, όμως εγώ έγραψα φυσικούς, επειδή κι αυτοί ανήκουν στους θετικούς πραγματικούς και η εκφώνηση είναι με φυσικούς.

#12

cool geometry έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 14, 2022 4:43 pm
Οι μικροί μας φίλοι δεν γνωρίζουν την μονοτονία.

Στον φάκελο των Ολυμπιάδων η μονοτονία, με κλασσικά μέσα αντιμετώπισης, είναι στην επιτρεπτή θεματική.

Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.

Μέλη σε σύνδεση