Ελάχιστη τιμή (Α' ΛΥΚΕΙΟΥ )

KARKAR · #1

Α) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-5|

β) Αν

, βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : |x-a|+|x-b|+|x-c|

Υπενθυμίζεται ότι σε θέματα εύρεσης ακροτάτων , εκτός από το ακρότατη τιμή , απαιτείται και

η εύρεση της τιμής της μεταβλητής ( ή μεταβλητών ) για την οποία επιτυγχάνεται το ακρότατο .

#2

KARKAR έγραψε:Α) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης :

β) Αν , βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης :

Υπενθυμίζεται ότι σε θέματα εύρεσης ακροτάτων , εκτός από το ακρότατη τιμή , απαιτείται και

η εύρεση της τιμής της μεταβλητής ( ή μεταβλητών ) για την οποία επιτυγχάνεται το ακρότατο .

a) Ισχύει

$f(x)=|x-1|+|1+x|+|5-x|\geq |x-1|+|(1+x)+(5-x)|=|x-1|+6\geq 6$

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , με το "=" αν και μόνο αν x-1=0

, δηλ.

.

β) Ισχύει

$\begin{aligned} |x-a|+|x-b|+|x-c|&=|x-b|+|x-a|+|c-x|\\ &\geq |x-b|+|(x-a)+(c-x)|\\ &=|x-b|+c-a\\ &\geq c-a\\ \end{aligned}$

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , με το "=" αν και μόνο αν x-b=0

, δηλ.

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Μία άλλη αντιμετώπιση είναι χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό της απόλυτης τιμής. Για κάθε τιμή του χ μεταξύ των α και c, το άθροισμα των αποστάσεων από αυτά ισούται με την απόσταση των α, c. Εάν το χ βρεθεί εκτός του διαστήματος (α, c) το άθροισμα των αποστάσεων μεγαλώνει. Επομένως το συνολικό άθροισμα των τριών αποστάσεων ελαχιστοποιείται όταν x=b.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 23, 2016 7:43 pm
Α) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης :

β) Αν , βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης :

Υπενθυμίζεται ότι σε θέματα εύρεσης ακροτάτων , εκτός από το ακρότατη τιμή , απαιτείται και

η εύρεση της τιμής της μεταβλητής ( ή μεταβλητών ) για την οποία επιτυγχάνεται το ακρότατο .

Καλημέρα...

Και μια γραφική αντιμετώπιση χωρίς λόγια...

: Ελάχιστη τιμή (Α'Λυκείου) .png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 1686 φορές

Για την άλλη περίπτωση και πάλι με τον ίδιο τρόπο θα μπορούσε να γίνει

κι ένα δυναμικό σχήμα μεταβάλλοντας τις τιμές των $\displaystyle{a,b,c}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Ελάχιστη τιμή (Α' ΛΥΚΕΙΟΥ )

Ελάχιστη τιμή (Α' ΛΥΚΕΙΟΥ )

Re: Ελάχιστη τιμή (Α' ΛΥΚΕΙΟΥ )

Re: Ελάχιστη τιμή (Α' ΛΥΚΕΙΟΥ )

Re: Ελάχιστη τιμή (Α' ΛΥΚΕΙΟΥ )

Μέλη σε σύνδεση