Δεν είναι τετράγωνος

#1

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει περιττός αριθμός $\displaystyle{x}$ , έτσι ώστε ο αριθμός:

$\displaystyle{24x^2 +12x +1}$

να είναι τέλειο τετράγωνο.

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 17, 2025 7:30 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει περιττός αριθμός $\displaystyle{x}$ , έτσι ώστε ο αριθμός:

$\displaystyle{24x^2 +12x +1}$

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Αν ο αριθμός ήταν τέλειο τετράγωνο, θα ήταν τέλειο τετράγωνο περιττού αφού το αριστερό μέλος είναι περιττός. Άρα για κάποιον φυσικό

θα ίσχυε

, ισοδύναμα μετά τις απλοποιήσεις 3x(2x+1)=M(M+1)

. Αυτό όμως είναι άτοπο για όλα τα περιττά

γιατί τότε το αριστερό μέλος είναι περιττός ως γινόμενο περιττών, ενώ το δεξί είναι άρτιος ως γινόμενο δύο διαδοχικών αριθμών. Τελειώσαμε.

Από περιέργεια ας δούμε αν ισχύει ή όχι το ίδιο στην περίπτωση όπου

άρτιος: Σε αυτή την περίπτωση ο $\displaystyle{24x^2 +12x +1}$
θα μπορούσε να είναι τέλειο τετράγωνο. Π.χ. για x=2

παίρνουμε $24\cdot 2^2+12\cdot 2+1= 121=11^2$

Fotis34 · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 17, 2025 7:30 am
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει περιττός αριθμός $\displaystyle{x}$ , έτσι ώστε ο αριθμός:

$\displaystyle{24x^2 +12x +1}$

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Μία πιο δύσκολη λύση:

Αφού $\displaystyle{x}$ περιττός, είναι: $\displaystyle{x = 2k+1, \, k \in \mathbb{Z}}$ .

Άρα έχουμε:
$\displaystyle 24x^2 + 12x + 1 = 24(2k+1)^2 + 12(2k+1) + 1 = 24(4k^2 + 4k + 1) + 24k + 12 + 1 = 96k^2 + 120k + 37$

Δουλεύοντας $\displaystyle{(mod 8)}$ , έχουμε:
$\displaystyle 96k^2 + 120k + 37 \equiv 0 + 0 + 5 \equiv 5 \pmod{8}$

Όμως τα τέλεια τετράγωνα $\displaystyle{(mod 8)}$ είναι: $\displaystyle{0,1,4}$

$\displaystyle{5 \not\in \{0,1,4\}}$ $\displaystyle{\implies}$ $\displaystyle{24x^2 + 12x + 1}$ , δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.

Δεν είναι τετράγωνος

Δεν είναι τετράγωνος

Re: Δεν είναι τετράγωνος

Re: Δεν είναι τετράγωνος

Μέλη σε σύνδεση