Διψήφιοι!

#1

Να βρείτε τους διψήφιους αριθμούς $\overline{ab}$ για τους οποίους ισχύει $3^{x+y} =3^x + 3^y + \overline{ab},$ όπου x, y

μη αρνητικοί ακέραιοι.

harrisp · #2

socrates έγραψε:Να βρείτε τους διψήφιους αριθμούς $\overline{ab}$ για τους οποίους ισχύει $3^{x+y} =3^x + 3^y + \overline{ab},$ όπου μη αρνητικοί ακέραιοι.

Προφανώς ή x<3

ή

αφού διαφορετικά η διάφορα τους θα ειναι τριψήφιος. Διακρίνουμε λοιπόν 2 περιπτώσεις έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας για y<3

.

1)

Εχουμε: $x\leq 3$ . Δοκιμάζοντας με το χέρι παίρνουμε τις λύσεις:

$\overline{ab}=15,51$

2) y=2

Εχουμε: $x\leq 2$

Οπου παίρνουμε $\overline{ab}=15,63$

Edit: Προστέθηκαν τα κόκκινα γράμματα άλλη μια τιμή αφού είδα την λύση του pitsirikos για να μην σβησω όλη τη λύση.

big-pitsirikos · #3

socrates έγραψε:Να βρείτε τους διψήφιους αριθμούς $\overline{ab}$ για τους οποίους ισχύει $3^{x+y} =3^x + 3^y + \overline{ab},$ όπου μη αρνητικοί ακέραιοι.

Ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας, $x \geq y$ .

Η εξίσωση γράφεται $(3^y-1)^2 \leq (3^x-1)(3^y-1)=\overline{ab}+1 \leq 100$ , άρα $3^y \leq 11$ , συνεπώς y=0

ή

.

Αν

, τότε $\overline{ab}=-1$ , αδύνατο.

Αν y=1

, τότε $99 \geq \overline{ab}=2 \cdot 3^x -3$ , οπότε $3^x \leq 51$ ,συνεπώς x=1, x=2, x=3

, που δίνει λύσεις για x=2,x=3

, τις $\overline{ab}=15, \overline{ab}=51$ αντίστοιχα.

Αν y=2

, με παρόμοια λογική έχουμε x=1,x=2

, με λύσεις $\overline{ab}=15, \overline{ab}=63$ αντίστοιχα.

Φυσικά στις παραπάνω λύσεις προστίθενται και οι αναδιατάξεις τους.

#4

Διψήφιοι!

Διψήφιοι!

Re: Διψήφιοι!

Re: Διψήφιοι!

Re: Διψήφιοι!

Μέλη σε σύνδεση