Δεν είναι ομόσημοι

#1

Αν

$\displaystyle{(b-c)(a-c)w=(b+c)(a+c)x}$

$\displaystyle{(a+b)(b-c)y=(a-b)(b+c)x}$

$\displaystyle{(b+c)(c-a)z=(b-c)(c+a)y}$

και αν w>0

και $\displaystyle{ a-b,a-c, b-c ,a+b , b+c , c+a \neq 0}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=w^{-1}}$

(b) Οι αριθμοί $\displaystyle{x,y ,z}$ δεν είναι δυνατόν να είναι ομόσημοι

#2

Παροτρύνω τους μαθητές μας να κοιτάξουν την άσκηση γιατί έχει ενδιαφέρον, ιδίως αν ψάξουν για οικονομική λύση.

JimNt. · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Αν

$\displaystyle{(b-c)(a-c)w=(b+c)(a+c)x}$

$\displaystyle{(a+b)(b-c)y=(a-b)(b+c)x}$

$\displaystyle{(b+c)(c-a)z=(b-c)(c+a)y}$

και αν και $\displaystyle{ a-b,a-c, b-c ,a+b , b+c , c+a \neq 0}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=w^{-1}}$

(b) Οι αριθμοί $\displaystyle{x,y ,z}$ δεν είναι δυνατόν να είναι ομόσημοι

Από την πρώτη σχέση παίρνουμε:
$x=\frac{(a-c)(b-c)w}{(a+c)(b+c)}$ $\Leftrightarrow$ $x^{-1}=\frac{(a+c)(b+c)}{(a-c)(b-c)w}$ (1)

Από την δεύτερη σχέση και την (1)

παίρνουμε:
$y=\frac{(a-b)(b+c)(a-c)(b-c)w}{(a+b)(b-c)(a+c)(b+c)}=\frac{(a-b)(a-c)w}{(a+c)(a+b)}$ $\Leftrightarrow$ $y^{-1}=\frac{(a+c)(a+b)}{(a-b)(a-c)w}$ (2)

. Όμοια από την τρίτη σχέση και την (2)

παίρνουμε:
$z=\frac{(b-c)(c+a)(a-b)(a-c)w}{(b+c)(c-a)(a+b)(a+c)}=-\frac{(b-c)(a-b)w}{(b+c)(a+b)}$ $\Leftrightarrow$ $z^{-1}=-\frac{(b+c)(a+b)}{(b-c)(a-b)w}$ (3)

Με πρόσθεση κατα μέλη των (1),(2),(3)

προκύπτει το ζητούμενο.
Για το

τώρα θα αξιοποιήσουμε την γνωστή ιδιότητα: To γινόμενο δύο θετικών αριθμών είναι θετικός.
Διακρίνουμε

περιπτώσεις:

Και οι τρεις είναι θετικοί. Τότε x>0

$\Leftrightarrow$ $\frac{(a-c)(b-c)w}{(a+c)(b+c)}>0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{(a-c)(b-c)}{(a+c)(b+c)}>0$ (αφού

θετικός και συνεπώς η ύπαρξή του δεν επηρεάζει το πρόσημο), y>0

$\Leftrightarrow$ $\frac{(a-b)(a-c)}{(a+b)(a+c)} >0$ Από τις δύο παραπάνω σχέσεις και με βάση την προαναφερθείσα ιδιότητα λαμβάνουμε: $\frac{(a-c)^2(b-c)(a-b)}{(b+c)(a+b)(a+c)^2}>0$ . Όμως αφού (a-c)^2 , (a+c)^2> 0

παίρνουμε $0 < \frac{(b-c)(a-b)}{(b+c)(a+b)}=-z$ $\Leftrightarrow$ 0>z

. Συνεπώς, σε αυτήν την περίπτωση οι x,y,z

δεν είναι ομόσημοι.

Και οι τρεις είναι αρνητικοί. Ισχύει πως αν a < 0

τότε $a^{-1}<0$ . Συνεπώς, υποθέτουμε ότι x,y,z<0

, τότε $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}<0$ , άτοπο , αφού στο πρώτο ερώτημα δείξαμε ότι $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=w^{-1}>0$ .
Επομένως, οι αριθμοί x,y,z

δεν γίνεται να είναι ομόσημοι.
EDIT: Ένα σφάλμα στο β.

#4

Ωραιότατα.

Λίγο αλλιώς το b).

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τα

JimNt. έγραψε: Από την πρώτη σχέση παίρνουμε:
$x=\frac{(a-c)(b-c)w}{(a+c)(b+c)}$
$y=...=\frac{(a-b)(a-c)w}{(a+c)(a+b)}$
$z=...=-\frac{(b-c)(a-b)w}{(b+c)(a+b)}$

έχουμε

$\displaystyle{xyz = -\frac{(a-b)^2(b-c)^2(a-c)^2}{(a+c)^2(b+c)^2(a+b)^2}w^3 <0}$ , και λοιπά.

Ας προσθέσω ότι και στους δύο συλλογισμούς έγινε χρήση της υπόθεσης w>0

.

To αφήνω ως άσκηση "να αποδειχθεί το (b) της αρχικής ερώτησης δίχως να υποθέσουμε ότι w>0

"

JimNt. · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ωραιότατα.

Λίγο αλλιώς το b).

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τα

JimNt. έγραψε: Από την πρώτη σχέση παίρνουμε:
$x=\frac{(a-c)(b-c)w}{(a+c)(b+c)}$
$y=...=\frac{(a-b)(a-c)w}{(a+c)(a+b)}$
$z=...=-\frac{(b-c)(a-b)w}{(b+c)(a+b)}$
έχουμε

$\displaystyle{xyz = -\frac{(a-b)^2(b-c)^2(a-c)^2}{(a+c)^2(b+c)^2(a+b)^2}w^3 <0}$ , και λοιπά.

Ας προσθέσω ότι και στους δύο συλλογισμούς έγινε χρήση της υπόθεσης .

To αφήνω ως άσκηση "να αποδειχθεί το (b) της αρχικής ερώτησης δίχως να υποθέσουμε ότι "

Νομίζω λύνεται παίρνοντας περιπτώσεις:
Έχουμε αποδείξει το (b)

για

. Συνεπώς, έχουμε και την περιπτώση:
w<0

(για

τα $x^{-1},y^{-1},z^{-1}$ δεν ορίζονται) Διακρίνουμε τις ύποπεριπτώσεις:

τότε $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}> 0$ , άτοπο, αφού $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1} = w^{-1} < 0$

. Έχουμε

$\Leftrightarrow$ $\frac{(a-c)(b-c)}{(a+c)(b+c)}>0$ (διαιρέσαμε με w<0

και τα δύο μέλη και συνεπώς η φορά της ανίσωσης άλλαξε) και y<0

$\Leftrightarrow$ $\frac{(a-b)(a-c)}{(a+c)(a+b)} > 0$ . Τώρα με βάση την προαναφερθείσα ιδιότητα:
$0 < \frac{(a-c)^2(b-c)(a-b)}{(a+b)(b+c)(a+c)^2}$ $\Leftrightarrow$ $0< \frac{(b-c)(a-b)}{(a+b)(b+c)}=-\frac{z}{w}$ $\Leftrightarrow$ $0 > \frac{z}{w}$ $\Leftrightarrow$ 0 < z

(αλλάζει η φορά επειδή πολλαπλασιάσαμε με αρνητικό αριθμό και τα δύο μέλη (τον

)), άτοπο. Συνεπώς, σε καμία περίπτωση δεν είναι εφικτό οι x,y,z

να είναι ομόσημοι.

#6

Δίνω άλλη λύση: Εύκολα βλέπουμε από την $x^{-1} +y^{-1} +z^{-1} =w^{-1}$ ότι αν οι x,y, z

είναι ομόσημοι τότε ο

θα είχε και αυτός το ίδιο πρόσημο με τους τρεις. Ειδικά, το γινόμενο xyz

, σε αυτή την περίπτωση, θα έχει το ίδιο πρόσημο με το

.

Από την άλλη η $\displaystyle{xyz = -\frac{(a-b)^2(b-c)^2(a-c)^2}{(a+c)^2(b+c)^2(a+b)^2}w^3 }$ που γράφεται $\displaystyle{ xyz= -C^2w}$ (όπου μάζεψα όλα τα τέλεια τετράγωνα στο

) δείχνει ότι το xyz

και το

έχουν αντίθετα πρόσημα. Άτοπο. Και λοιπά.

Δεν είναι ομόσημοι

Δεν είναι ομόσημοι

Re: Δεν είναι ομόσημοι

Re: Δεν είναι ομόσημοι

Re: Δεν είναι ομόσημοι

Re: Δεν είναι ομόσημοι

Re: Δεν είναι ομόσημοι

Μέλη σε σύνδεση