Ταυτότητα

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4165
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Ταυτότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 18, 2017 11:29 am

Μεταφέροντας τη συζήτηση από ΕΔΩ:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αγαπητοί φίλοι, Μαθηματικά σημαίνει σκέφτομαι, βρίσκω τρόπους για να λύσω ένα πρόβλημα, αυτοσχεδιάζω, συνθέτω για να ρίξω το θηρίο στο καναβάτσο !
Προτείνετε ασκήσεις και λύστε ασκήσεις για να ωφεληθούμε όλοι.
Προτείνω (για τους μικρούς μας φίλους):

Να συμπληρωθούν οι ισότητες: {\left( {... + ...} \right)^2} = {x^2} + 2 + ..., για κάθε πραγματικό x.

(Ύλη Γ΄ Γυμνασίου)



Λέξεις Κλειδιά:
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 516
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Ταυτότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Μαρ 18, 2017 11:48 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Μεταφέροντας τη συζήτηση από ΕΔΩ:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αγαπητοί φίλοι, Μαθηματικά σημαίνει σκέφτομαι, βρίσκω τρόπους για να λύσω ένα πρόβλημα, αυτοσχεδιάζω, συνθέτω για να ρίξω το θηρίο στο καναβάτσο !
Προτείνετε ασκήσεις και λύστε ασκήσεις για να ωφεληθούμε όλοι.
Προτείνω (για τους μικρούς μας φίλους):

Να συμπληρωθούν οι ισότητες: {\left( {... + ...} \right)^2} = {x^2} + 2 + ..., για κάθε πραγματικό x.

(Ύλη Γ΄ Γυμνασίου)
(x, \sqrt{2}),(x,1/x) Η δεύτερη είναι λάθος (0). Δείτε πιο κάτω. και την (\sqrt{2}, \dfrac{x^2}{2\sqrt{2}})
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Σάβ Μαρ 18, 2017 12:35 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 816
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm
Τοποθεσία: Έδεσσα

Re: Ταυτότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Σάβ Μαρ 18, 2017 11:59 am

Αναφέρει για κάθε πραγματικό αριθμό \displaystyle{x}


Αποστόλης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 19, 2017 7:23 am

Συνεχίζω με άλλες ασκήσεις σε αυτή την θεματική:

Αν a,b,c ακέραιοι, δείξτε ο (a-b)^2(b-c)^2+ (b-c)^2(c-a)^2+(c-a)^2(a-b)^2 είναι τέλειο τετράγωνο.

(Η ιδέα είναι να μην χαθούμε στις πράξεις, αλλά να δείξουμε το ζητούμενο με κάπως οικονομικό τρόπο.)


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4165
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ταυτότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μαρ 19, 2017 10:12 am

Καλημέρα σε όλους!

Ας γράψω λίγο πιο αναλυτικά τις απαντήσεις του Δημήτρη και λίγα δικά μου σχόλια.

Αν \displaystyle x \ne 0 ισχύει η ταυτότητα \displaystyle {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}

Για κάθε \displaystyle x \in R ισχύει η ταυτότητα \displaystyle {\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} = {x^2} + 2\sqrt 2 x + 2 ,

καθώς και η ταυτότητα \displaystyle {\left( {\sqrt 2  + \frac{{{x^2}}}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} = 2 + {x^2} + \frac{{{x^4}}}{8} .

Τα κρίσιμα σημεία της άσκησης ήταν ο προσδιορισμός των όρων a, b της ταυτότητας (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,

δηλαδή σε τι αντιστοιχεί το x^2 και το 2 κάθε φορά (τρεις περιπτώσεις), αλλά και η χρήση του καθολικού ποσοδείκτη.

Το χρησιμοποιώ ως αφορμή στην τάξη για να τονίσω τη διαφορά των φράσεων: "υπάρχει ή υπάρχουν κάποια x τέτοια ώστε… " και "για κάθε x ….", (με άλλα λόγια μεταξύ του υπαρξιακού και του καθολικού ποσοδείκτη).

Επίσης, σημαντικό θέμα είναι και η αναφορά στις "ταυτότητες υπό συνθήκη".

Επίτηδες, εδώ, τέθηκε ο αρχικός περιορισμός: "για κάθε πραγματικό αριθμό". Αποκλείστηκε, έτσι η πρώτη περίπτωση (συνήθης απάντηση των μαθητών) και δόθηκε η αφορμή για αναζήτηση.

Στο ερώτημα αν η σχέση \displaystyle {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} είναι ταυτότητα ή όχι, η απάντηση είναι θετική, διότι και οι δύο παραστάσεις ορίζονται στο ίδιο σύνολο (το R^*) και παίρνουν την ίδια τιμή για κάθε x που ανήκει στο σύνολο αυτό.

Υ.Γ. Οι προσεκτικοί μικροί μας φίλοι θα έχουν ήδη εντοπίσει μια υπόδειξη για το όμορφο πρόβλημα που έθεσε ο Μιχάλης στην προηγούμενη ανάρτηση.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ταυτότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μαρ 19, 2017 10:51 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:Συνεχίζω με άλλες ασκήσεις σε αυτή την θεματική:

Αν a,b,c ακέραιοι, δείξτε ο A=(a-b)^2(b-c)^2+ (b-c)^2(c-a)^2+(c-a)^2(a-b)^2 είναι τέλειο τετράγωνο.

(Η ιδέα είναι να μην χαθούμε στις πράξεις, αλλά να δείξουμε το ζητούμενο με κάπως οικονομικό τρόπο.)
Καλημέρα σε όλους!


Έστω a-b=x, \, b-c=y, \, c-a=z, \, x+y+z=0

Τότε \displaystyle A=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)=(xy+yz+zx)^2


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 19, 2017 12:09 pm

Θαυμάσια.
Αυτή την λύση είχα κατά νου.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 19, 2017 12:25 pm

Συνεχίζω με άλλη μία άσκηση που βασίζεται σε ταυτότητες .

Να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος

\displaystyle{ 1 +\frac {1}{2} +\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+ ... + \frac {1}{100}+ \frac {1}{2\cdot 3}+ ... +\frac {1}{99\cdot 100} +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4} +...+\frac {1}{98\cdot 99 \cdot 100}+ ...  +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4\cdot ... \cdot 100 } }

Εδώ οι παρονομαστές είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί γινομένων των αριθμών 2,\, 3, \, ... \, , 100 , από μία φορά ο καθένας. Για παράδειγμα ένας όρος είναι ο 3\cdot 17 \cdot 62\cdot 75\cdot 76 \cdot 91, και πάει λέγοντας.

Η άσκηση λύνεται σε δυό τρεις γραμμές, με ένα ωραίο τεχνασματάκι. Ίσως δεν το δει αμέσως ένας πρωτόπειρος, όμως είναι ωραία και διδακτική, γι' αυτό και την αναρτώ. Κάνει για όλες τις τάξεις, αλλά μπορεί να είναι πρόκληση και για τους ... μαντράχαλους, αν δεν δουν το τεχνασματάκι.


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 516
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Ταυτότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Μαρ 19, 2017 12:46 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Συνεχίζω με άλλη μία άσκηση που βασίζεται σε ταυτότητες .

Να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος

\displaystyle{ 1 +\frac {1}{2} +\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+ ... + \frac {1}{100}+ \frac {1}{2\cdot 3}+ ... +\frac {1}{99\cdot 100} +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4} +...+\frac {1}{98\cdot 99 \cdot 100}+ ...  +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4\cdot ... \cdot 100 } }

Εδώ οι παρονομαστές είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί γινομένων των αριθμών 2,\, 3, \, ... \, , 100 , από μία φορά ο καθένας. Για παράδειγμα ένας όρος είναι ο 3\cdot 17 \cdot 62\cdot 75\cdot 76 \cdot 91, και πάει λέγοντας.

Η άσκηση λύνεται σε δυό τρεις γραμμές, με ένα ωραίο τεχνασματάκι. Ίσως δεν το δει αμέσως ένας πρωτόπειρος, όμως είναι ωραία και διδακτική, γι' αυτό και την αναρτώ. Κάνει για όλες τις τάξεις, αλλά μπορεί να είναι πρόκληση και για τους ... μαντράχαλους, αν δεν δουν το τεχνασματάκι.
Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι η αρχική για οποιοδήποτε n στην θέση του 100 ισούται με n.
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Κυρ Μαρ 19, 2017 1:42 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 19, 2017 1:10 pm

JimNt. έγραψε: Επαγωγικά νομίζω μπορούμε να δείξουμε ότι η αρχική για οποιοδήποτε n στην θέση του 100 ισούται με n.
Η επαγωγή είναι εκτός ύλης Γ' Γυμνασίου. Εν πάση περιπτώσει δεν πρόκειται για "τεχνασματάκι" που λύνει την άσκηση σε δυό τρεις γραμμές.

Οπότε πίσω στο τραπέζι η άσκηση.


Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Ταυτότητα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Μαρ 19, 2017 6:45 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Συνεχίζω με άλλη μία άσκηση που βασίζεται σε ταυτότητες .

Να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος

\displaystyle{ 1 +\frac {1}{2} +\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+ ... + \frac {1}{100}+ \frac {1}{2\cdot 3}+ ... +\frac {1}{99\cdot 100} +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4} +...+\frac {1}{98\cdot 99 \cdot 100}+ ...  +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4\cdot ... \cdot 100 } }

Εδώ οι παρονομαστές είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί γινομένων των αριθμών 2,\, 3, \, ... \, , 100 , από μία φορά ο καθένας. Για παράδειγμα ένας όρος είναι ο 3\cdot 17 \cdot 62\cdot 75\cdot 76 \cdot 91, και πάει λέγοντας.

Η άσκηση λύνεται σε δυό τρεις γραμμές, με ένα ωραίο τεχνασματάκι. Ίσως δεν το δει αμέσως ένας πρωτόπειρος, όμως είναι ωραία και διδακτική, γι' αυτό και την αναρτώ. Κάνει για όλες τις τάξεις, αλλά μπορεί να είναι πρόκληση και για τους ... μαντράχαλους, αν δεν δουν το τεχνασματάκι.
Το παραπάνω άθροισμα προκύπτει αν ανοίξουμε το
(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{100})=(\frac{3}{2})(\frac{4}{3})...(\frac{101}{100}) 
=\frac{101}{2}


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 516
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Ταυτότητα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Μαρ 19, 2017 6:52 pm

Δεν είναι σωστό νομίζω. Το πλήθος των όρων είναι 2^{100}-1, που δεν διαιρείται με το 2. Βασικά εγώ έχω το λάθος. Υπολόγιζα και τις \frac{1}{1\cdot n}, εκτός από την 1/n... και γενικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το 1 ως παράγοντα....


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 19, 2017 8:48 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: Το παραπάνω άθροισμα προκύπτει αν ανοίξουμε το
(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{100})=(\frac{3}{2})(\frac{4}{3})...(\frac{101}{100}) 
=\frac{101}{2}
Ωραιότατα. Την προόριζα για μαθητές Γυμνασίου αλλά χαίρομαι που την απάντησες.

Για όσους δεν βλέπουν το σκεπτικό, ας εξηγήσω: Το ανάπτυγμα του

\displaystyle{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)...(1+a_n)}

είναι άθροισμα γινομένων παραγόντων που λαμβάνονται ανά ένας από κάθε παρένθεση. Έτσι κάποιοι παράγοντες είναι 1 ενώ οι άλλοι είναι της μορφής a_k. Ο τυπικός όρος είναι της μορφής a_pa_q...a_r. Στο παραπάνω τα a_k είναι τα κλάσματα \frac {1}{2}, ... \, , \frac {1}{100}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 19, 2017 8:58 pm

JimNt. έγραψε:Δεν είναι σωστό νομίζω. Το πλήθος των όρων είναι 2^{100}-1, που δεν διαιρείται με το 2. Βασικά εγώ έχω το λάθος. Υπολόγιζα και τις \frac{1}{1\cdot n}, εκτός από την 1/n... και γενικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το 1 ως παράγοντα....
Δεν μπορώ να καταλάβω το σκεπτικό σου. Λες, για παράδειγμα, ότι υπολόγιζες όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το 1 ως παράγοντα. Υποθέτω το λες για να επισημάνεις ότι είναι λάθος. Να όμως που είναι σωστό. Ας σημειώσω ότι η απάντηση n (μέσω επαγωγής) που δίνεις σε προηγούμενο ποστ δεν είναι σωστή για κανένα n\ge 2.

Άσκηση (για το Λύκειο). Να δωθεί επαγωγική απόδειξη του παραπάνω.


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 516
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Ταυτότητα

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Μαρ 19, 2017 9:03 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
JimNt. έγραψε:Δεν είναι σωστό νομίζω. Το πλήθος των όρων είναι 2^{100}-1, που δεν διαιρείται με το 2. Βασικά εγώ έχω το λάθος. Υπολόγιζα και τις \frac{1}{1\cdot n}, εκτός από την 1/n... και γενικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το 1 ως παράγοντα....
Δεν μπορώ να καταλάβω το σκεπτικό σου. Λες, για παράδειγμα, ότι υπολόγιζες όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το 1 ως παράγοντα. Υποθέτω το λες για να επισημάνεις ότι είναι λάθος. Να όμως που είναι σωστό. Ας σημειώσω ότι η απάντηση n (μέσω επαγωγής) που δίνεις σε προηγούμενο ποστ δεν είναι σωστή για κανένα n\ge 2.

Άσκηση (για το Λύκειο). Να δωθεί επαγωγική απόδειξη του παραπάνω.
Εννοώ π.χ ότι για n=2 παίρνουμε 1,1/2,1/(1*2). ή για n=3 1 , 1/2, 1/3, 1/(1*2),1/(1*3),1/(3*2),1/(1*2*3).(Όλοι οι συνδυασμοί....)


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 19, 2017 9:14 pm

JimNt. έγραψε: Εννοώ π.χ ότι για n=2 παίρνουμε 1,1/2,1/(1*2). ή για n=3 1 , 1/2, 1/3, 1/(1*2),1/(1*3),1/(3*2),1/(1*2*3).
Ωραία. Με την διευκρίνηση/παραλλαγή αυτή η άσκηση είναι στο ίδιο μήκος κύματος. Τώρα η απάντηση είναι \left (1+ \frac {1}{1} \right) \left (1+ \frac {1}{2} \right)...\left (1+ \frac {1}{n} \right) -1= n , όπως σωστά έγραψες.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 25, 2017 3:16 pm

(Μία απλή για τους μικρούς μας μαθητές)

α) Βρείτε πολυώνυμα p,q ώστε για κάθε x να ισχύει \displaystyle{(x^2+1)^2p(x) + (x-1)^2q(x)=1}.

β) Βρείτε αριθμούς a,b,c,d,e,f ώστε για κάθε x \ne 1 να ισχύει

\displaystyle{\frac {1}{(x-1)^2(x^2+1)^2}= \frac {a}{x-1}+\frac {b}{(x-1)^2}+ \frac {cx+d}{x^2+1}+ \frac {ex+f}{(x^2+1)^2}}.

(Το τελευταίο στην βιβλιογραφία ονομάζεται "ανάλυση κλάσματος σε απλά")

Για το β) η ιδέα είναι να μην χαθούμε στις πράξεις. Λύνεται σε λίγες γραμμές.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 28, 2017 9:28 pm

Επαναφορά με μικρή υπόδειξη:

Υπάρχει τέτοιο p πρώτου βαθμού και q τρίτου.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 08, 2017 11:55 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: α) Βρείτε πολυώνυμα p,q ώστε για κάθε x να ισχύει \displaystyle{(x^2+1)^2p(x) + (x-1)^2q(x)=1}.

β) Βρείτε αριθμούς a,b,c,d,e,f ώστε για κάθε x \ne 1 να ισχύει

\displaystyle{\frac {1}{(x-1)^2(x^2+1)^2}= \frac {a}{x-1}+\frac {b}{(x-1)^2}+ \frac {cx+d}{x^2+1}+ \frac {ex+f}{(x^2+1)^2}}.
α) Είτε λύνοντας ένα σύστημα είτε κάνοντας τον Ευκλείδειο αλγόριθμο εύρεσης μέγιστου κοινού διαιρέτη, για πολυώνυμα, θα διαπιστώσουμε ότι

\displaystyle{\frac {1}{4} (x^2+1)^2(-2x+1) +\frac {1}{4} (x-1)^2(2x^3+x^2+4x+1)=1}.

β) Αντικαθιστούμε το παραπάνω στην θέση του αριθμητή 1. Η απλοποίηση των κλασμάτων θα δώσει

\displaystyle{\frac {1}{(x-1)^2(x^2+1)^2}= \frac {1}{2(x-1)}+\frac {1}{4(x-1)^2}+ \frac {2x+1}{4(x^2+1)}+ \frac {x}{2(x^2+1)^2}}.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7953
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ταυτότητα

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 10, 2017 1:25 pm

Μετέφερα την συζήτηση στους διαγωνισμούς μιας και τα θέματα είναι δυστυχώς μάλλον δύσκολα για Α' Γυμνασίου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης