Piece of Cake!

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Piece of Cake!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Παρ Μάιος 19, 2017 3:56 pm

Με συνέχιση αυτής, βάζω κάτι παρόμοιο:

Να βρείτε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y) για τα οποία ισχύει:

\displaystyle{\frac{x^{2}+6xy+18+2x}{1-y}=4}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10614
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Piece of Cake!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 19, 2017 8:01 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Να βρείτε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y) για τα οποία ισχύει:

\displaystyle{\frac{x^{2}+6xy+18+2x}{1-y}=4}
Υποθέτω ότι εννοείς "ακεραίους" γιατί αλλιώς λύνουμε ως προς y και η άσκηση δεν έχει ενδιαφέρον.

Για ακεραίους, με τον περιορισμό y\ne 1, μετά από πολαπλασιασμό επί 9(1-y) η δοθείσα γράφεται

(3x+18y+4)(3x+2)=118 = 2 \cdot 59

Άρα 3x+2 είναι ένας από τους \pm1, \,  \pm 2, \, \pm 59, \pm 118. Δίνουν τις ακέραιες τιμές
x=-1, \, x=0, \, x=19, \, x=-40, και λοιπά (ρουτίνα από δω και πέρα).


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Piece of Cake!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Σάβ Μάιος 20, 2017 1:21 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Να βρείτε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y) για τα οποία ισχύει:

\displaystyle{\frac{x^{2}+6xy+18+2x}{1-y}=4}
Υποθέτω ότι εννοείς "ακεραίους" γιατί αλλιώς λύνουμε ως προς y και η άσκηση δεν έχει ενδιαφέρον.

Για ακεραίους, με τον περιορισμό y\ne 1, μετά από πολαπλασιασμό επί 9(1-y) η δοθείσα γράφεται

(3x+18y+4)(3x+2)=118 = 2 \cdot 59

Άρα 3x+2 είναι ένας από τους \pm1, \,  \pm 2, \, \pm 59, \pm 118. Δίνουν τις ακέραιες τιμές
x=-1, \, x=0, \, x=19, \, x=-40, και λοιπά (ρουτίνα από δω και πέρα).
Και με πραγματικούς το ίδιο (σχεδόν) είναι!
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Σάβ Μάιος 20, 2017 5:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10614
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Piece of Cake!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 20, 2017 4:40 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Και με ακεραίους το ίδιο (σχεδόν) είναι!
Ίσως χάνω κάτι.

Με ακεραίους το έκανα ήδη.

Αν επιτρέψουμε μη ακεραίους τότε, όπως ανέφερα παραπάνω, η άσκηση είναι είναι απόλυτα τετριμμένη: Απλά λύνουμε την πρωτοβάθμια ως προς y. Θα βρούμε τις λύσεις (x,y) όπου

y = - \frac {x^2+2x+14}{6x+4}, όπου x\ne -4/6.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Piece of Cake!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Σάβ Μάιος 20, 2017 5:04 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ίσως χάνω κάτι.

Με ακεραίους το έκανα ήδη.

Αν επιτρέψουμε μη ακεραίους τότε, όπως ανέφερα παραπάνω, η άσκηση είναι είναι απόλυτα τετριμμένη: Απλά λύνουμε την πρωτοβάθμια ως προς y. Θα βρούμε τις λύσεις (x,y) όπου

y = - \frac {x^2+2x+14}{6x+4}, όπου x\ne -4/6.
Πραγματικούς εννοούσα!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10614
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Piece of Cake!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 20, 2017 8:07 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Πραγματικούς εννοούσα!
'Οπως έγραψα και τεκμηρίωσα, για πραγματικούς η άσκηση είναι απόλυτη ρουτίνα.

Από που έβγαλες το συμπέρασμα ότι
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Και με ακεραίους το ίδιο (σχεδόν) είναι!
Αντιθέτως, το να βρεις μόνο τις ακέραιες τιμές του y = - \frac {x^2+2x+14}{6x+4} έχει κάποια εργασία (την έκανα παραπάνω).


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Piece of Cake!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Μάιος 21, 2017 12:49 pm

Τώρα που το ξανακοιτάζω, είναι λάθος η εκφώνηση. Αλλά έτσι κι αλλιώς είχατε δίκιο. Αφήστε το. Έπρεπε να έχω βάλει:

x^{2}+6xy+12y+2x=4

Τώρα, γράφω στους πραγματικούς γιατί το y είναι σε κάποιες λύσεις κλάσμα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10614
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Piece of Cake!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 21, 2017 2:08 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Τώρα που το ξανακοιτάζω, είναι λάθος η εκφώνηση.
Από που είναι η εκφώνηση για να δούμε και εμείς;
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Έπρεπε να έχω βάλει:

x^{2}+6xy+12y+2x=4

Τώρα, γράφω στους πραγματικούς γιατί το y είναι σε κάποιες λύσεις κλάσμα.
Ούτε τώρα μπαλώνεται. Προφανώς δεν έγιναν κατανοητά αυτά που έγραφα, ότι δηλαδή στους πραγματικούς η άσκηση είναι τετριμμένη (και άρα ΔΕΝ κάνει για Ολυμπιάδες). Συγκεκριμένα, η εξίσωση είναι πρωτοβάθμια ως προς y (τόσο απλά) και λύνεται σε ένα άμεσο βήμα, y = \frac {4-x^2-2x}{6x+12}, \, x \ne -2.

Το μόνο που θα είχε ενδιαφέρον είναι οι ακέραιες ρίζες. Στην νέα διατύπωση η άσκηση λύνεται γράφοντας την εξίσωση στην μορφή (x+2)(x+6y)=4 οπότε x+2= \pm1 ή \pm 2 ή \pm 4 και λοιπά.

Όπως και να είναι, περιμένω την πηγή της άσκησης.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Piece of Cake!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Μάιος 21, 2017 2:15 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Όπως και να είναι, περιμένω την πηγή της άσκησης.
Την άσκηση εγώ την έφτιαξα. Εκεί που φτάσατε, (x+2)(x+6y)=4 προκύπτει μια λύση y=-\dfrac{1}{6}. Γι' αυτό είπα πραγματικούς.

Αν είναι για πραγματικούςους, στην πρώτη λύση έχω το σύστημα:

\left.\begin{matrix} x+2=4 \\ x+6y=1\;\; \end{matrix}\right\} \Rightarrow \boxed{x=2}, \boxed{y=-\dfrac{1}{6}} που δεν είναι ακέραιος.

Πάντως, σας ευχαριστώ που μου διευκρινίζετε τα λάθη μου!


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 515
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Piece of Cake!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Μάιος 21, 2017 2:20 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Όπως και να είναι, περιμένω την πηγή της άσκησης.
Την άσκηση εγώ την έφτιαξα. Εκεί που φτάσατε, (x+2)(x+6y)=4 προκύπτει μια λύση y=-\dfrac{1}{6}. Γι' αυτό είπα πραγματικούς.

Αν είναι για πραγματικούςους, στην πρώτη λύση έχω το σύστημα:

\left.\begin{matrix} x+2=4 \\ x+6y=1\;\; \end{matrix}\right\} \Rightarrow \boxed{x=2}, \boxed{y=-\dfrac{1}{6}} που δεν είναι ακέραιος.

Πάντως, σας ευχαριστώ που μου διευκρινίζετε τα λάθη μου!
Δεν είναι σωστό... Πρόσεξε τι σου λέει ο κύριος Λάμπρου.... Γιατί π.χ να μην είναι x+2=1/2, x+6y=8. Αυτός ο τρόπος λύσης ισχύει μόνο αν x,y ακέραιοι..


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Piece of Cake!

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Μάιος 21, 2017 2:22 pm

JimNt. έγραψε: Δεν είναι σωστό... Πρόσεξε τι σου λέει ο κύριος Λάμπρου.... Γιατί π.χ να μην είναι x+2=1/2, x+6y=8. Αυτός ο τρόπος λύσης ισχύει μόνο αν x,y ακέραιοι..
Όντως... Ευχαριστώ JimNt. για την παρατήρηση!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης