ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Ξ. · #1

Παρακαλώ λίγη βοήθεια στην παρακάτω άσκηση !

Έστω x, y, w

θετικοί αριθμοί με :

xy +yw+wx = 1

Να αποδείξετε ότι :

$\displaystyle \frac{x^3}{x+y}+\frac{y^3}{y+w}+\frac{w^3}{w+x}\geq \frac{1}{2}$

Ευχαριστώ

edit (Γ. Ρίζος): Έγινε μετακίνηση του θέματος από το φάκελο της Γ΄ Γυμνασίου,

JimNt. · #2

Η συγκεκριμένη δεν είναι ανίσωση. Επιπλέον, ο φάκελος δεν είναι ο κατάληλλος. $LHS \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{6(x+y+z)}=\dfrac{(x+y+z)^2}{6} \ge \dfrac{3(xy+yz+xz)}{6} =\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Ξ. · #3

διορθωση ανισοϊσότητας:
$\dfrac{x^3}{x + y} + \dfrac{y^3}{y + w} + \dfrac{w^3}{w + x} \geq \dfrac{1}{2}$

JimNt. · #4

Η λύση παραμένει η ίδια.

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Ξ. · #5

Δεν καταλαβαίνω , μπορείς να μου το εξηγήσεις λίγο πιο αναλυτικά?

JimNt. · #6

Δεν νομίζω ότι θα βοηθήσει η εξήγηση. Αυτό το κομμάτι των ανισοτήτων είναι τελείως διαφορετικό από ότι πρεσβεύει η σχολική ύλη και από ό,τι έχω καταλάβει δεν είσαι πολύ εξοικειωμένος με αυτό. Προτείνω να ξεκινήσεις από τις πιο απλές.

Panagiotis11 · #7

Καλησπέρα Κωνσταντίνε.Η λύση που πρότεινε ο JimNt βασίζεται σε μία κλασική ανισότητα η οποία όμως (νομίζω) δεν υπάρχει στην σχολική ύλη.

Η γενική της μορφή είναι $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}$ γνωστή και ως ανισότητα Buniakowsky-Cauchy-Schwarz(B-C-S)

Καλό θα ήταν να ξεκινήσεις με πιο απλές ασκήσεις αυτού του τύπου και ύστερα να αρχίζεις να λύνεις και τέτοιες θεωρητικά δυσκολότερες.

Ελπίζω να βοήθησα!

Φιλικά, Παναγιώτης

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Ξ. · #8

Panagiotis11 έγραψε:Καλησπέρα Κωνσταντίνε.Η λύση που πρότεινε ο JimNt βασίζεται σε μία κλασική ανισότητα η οποία όμως (νομίζω) δεν υπάρχει στην σχολική ύλη.

Η γενική της μορφή είναι $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}$ γνωστή και ως ανισότητα Buniakowsky-Cauchy-Schwarz(B-C-S)

Καλό θα ήταν να ξεκινήσεις με πιο απλές ασκήσεις αυτού του τύπου και ύστερα να αρχίζεις να λύνεις και τέτοιες θεωρητικά δυσκολότερες.

Ελπίζω να βοήθησα!

Φιλικά, Παναγιώτης

Σε ευχαριστώ πολύ.

ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Μέλη σε σύνδεση