Άθροισμα ψηφίων αριθμού

#1

Με

συμβολίζουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός φυσικού αριθμού

. Για παράδειγμα s(10002)=3

.

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί

με την ιδιότητα n+s(n)+s(s(n))=999

.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές. Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.

Κω.Κωνσταντινίδης · #2

Έχουμε $999\geq n$ , $27\geq s(n)$ , $10\geq s(s(n))$ . Έχουμε επίσης ότι $s(n)+s(s(n))\leq 37$ $\Leftrightarrow n\geq 962$ , άρα $999\geq n\geq 962$ . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
$n\equiv 0 mod9$ , συνεπώς s(n)

=27

s(n)

, και

. Αν

τότε

. Αν

τότε

το οποίο απορρίπτεται λόγω του s(n)=27.

$n\not\equiv 0 mod9$ . Τότε $s(n)\not\equiv 0 mod9, s(s(n))\not\equiv 0 mod9$ . Θέτουμε $n\equiv a mod9$ , τότε $s(s(n))\equiv a mod 9, s(n)\equiv amod9$ με $a\leq 8$ . Με πρόσθεση κατά μέλη, και λόγω του ορισμού των ισουπόλοιπων αριθμών έχουμε ότι 3/333-a

, άρα

.
Αν

τότε

. Επειδή όμως $27\geq s(n)\geq 16$ , θα είναι s(n)=21

, άρα

.

Αν

,

. Πάλι όμως $27\geq s(n)\geq 16$ , άρα επειδή $s(n)\equiv 6 mod 9$ , θα είναι s(n)=24

και

.

'Αρα μοναδικές λύσεις είναι οι n=972,n=975, n=969

.

Υ.Γ. Σίγουρα υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές (χωρίς μόντουλα).

ARHS100 · #3

Πράγματι,πολύ εύκολη !!!

#4

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 21, 2018 9:07 pm
Υ.Γ. Σίγουρα υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές (χωρίς μόντουλα).

Βεβαίως και μπορούμε πιο απλά.

Υπόδειξη: Αφού έδειξες ότι $n\ge 962$ μετά εξετάζουμε ανά δεκάδα. Π.χ. για αριθμούς από 981

έως

ήδη $s(n) \ge 9+8+1=18$ οπότε $n+s(n) +s(s(n)) > 981+s(n) \ge 981+18=999$ . Άρα απορρίπτονται. Συνέχισε.

Άθροισμα ψηφίων αριθμού

Άθροισμα ψηφίων αριθμού

Re: Άθροισμα ψηφίων αριθμού

Re: Άθροισμα ψηφίων αριθμού

Re: Άθροισμα ψηφίων αριθμού

Μέλη σε σύνδεση