Ανίσωση

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 444
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Ιαν 07, 2019 12:04 pm

Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>\frac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}.
*** Για μαθητές μέχρι αύριο βράδυ.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1457
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Ιαν 07, 2019 1:44 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 12:04 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>\frac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}.
*** Για μαθητές μέχρι αύριο βράδυ.
Προφανώς, x \neq 0.

Αν x < 0, τότε (περιορισμοί) πρέπει x^2-\dfrac{1}{x^2} \geqslant 0 \Rightarrow x^4 \geqslant 1 \Rightarrow x \leqslant -1, αφού x<0 . Το δεύτερο υπόρριζο είναι προφανώς πάντα θετικό, ενώ για το τρίτο, παρατηρούμε ότι x^4+|x|^3+|x|-1=x^4-x^3-x-1=(x^2+1)(x-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}), που είναι >0 για x \leqslant -1 .

Μοναδικός περιορισμός λοιπόν ο x \leqslant -1.

Είναι \displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>0>\dfrac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}, οπότε η δοσμένη ανισότητα ισχύει για κάθε x \leqslant -1.

Έστω τώρα x>0, οπότε |x|=x και η δοσμένη γίνεται \displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}>\frac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x} (1).

Πρέπει (λόγω περιορισμών) x^2-\dfrac{1}{x^2} \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 1. Τότε, ισχύουν επίσης x+\dfrac{1}{x}>0 και \dfrac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x} \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{x}>0.

Παρατηρούμε ότι \dfrac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x}=\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x}+1)}, οπότε η (1) γίνεται \displaystyle \sqrt{(x-\dfrac{1}{x})(x+\dfrac{1}{x})}+\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}>\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x}+1)} οπότε απλοποιώντας με x+\dfrac{1}{x} \neq 0 έχουμε να λύσουμε την \sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+1>\sqrt{x-\dfrac{1}{x}+1}, με x \geqslant 1.

Έστω x-\dfrac{1}{x}=k^2, με k \geqslant 0 και έχουμε να λύσουμε την k+1>\sqrt{k^2+1} \Leftrightarrow (k+1)^2>k^2+1 \Leftrightarrow k>0, που ισχύει για κάθε x > 1, αλλά όχι για x=1 (αφού έχουμε k=0 \Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=1)

Τελικά, οι λύσεις τις δοσμένης ανίσωσης, είναι \boxed{x \in (- \infty, -1) \cup (1, + \infty)}


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2554
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 07, 2019 2:24 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 1:44 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 12:04 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>\frac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}.
*** Για μαθητές μέχρι αύριο βράδυ.
Προφανώς, x \neq 0.

Αν x < 0, τότε (περιορισμοί) πρέπει x^2-\dfrac{1}{x^2} \geqslant 0 \Rightarrow x^4 \geqslant 1 \Rightarrow x \leqslant -1, αφού x<0 . Το δεύτερο υπόρριζο είναι προφανώς πάντα θετικό, ενώ για το τρίτο, παρατηρούμε ότι x^4+|x|^3+|x|-1=x^4-x^3-x-1=(x^2+1)(x-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}), που είναι >0 για x \leqslant -1 .

Μοναδικός περιορισμός λοιπόν ο x \leqslant -1.

Είναι \displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>0>\dfrac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}, οπότε η δοσμένη ανισότητα ισχύει για κάθε x \leqslant -1.

Έστω τώρα x>0, οπότε |x|=x και η δοσμένη γίνεται \displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}>\frac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x} (1).

Πρέπει (λόγω περιορισμών) x^2-\dfrac{1}{x^2} \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 1. Τότε, ισχύουν επίσης x+\dfrac{1}{x}>0 και \dfrac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x} \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{x}>0.

Παρατηρούμε ότι \dfrac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x}=\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x}+1)}, οπότε η (1) γίνεται \displaystyle \sqrt{(x-\dfrac{1}{x})(x+\dfrac{1}{x})}+\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}>\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x}+1)} οπότε απλοποιώντας με x+\dfrac{1}{x} \neq 0 έχουμε να λύσουμε την \sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+1>\sqrt{x-\dfrac{1}{x}+1}, με x \geqslant 1.

Έστω x-\dfrac{1}{x}=k^2, με k \geqslant 0 και έχουμε να λύσουμε την k+1>\sqrt{k^2+1} \Leftrightarrow (k+1)^2>k^2+1 \Leftrightarrow k>0, που ισχύει για κάθε x > 1, αλλά όχι για x=1 (αφού έχουμε k=0 \Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=1)

Τελικά, οι λύσεις τις δοσμένης ανίσωσης, είναι \boxed{x \in (- \infty, -1) \cup (1, + \infty)}

Η ανισότητα

\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}>\frac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x} (1).

μπορεί να δειχθεί και ως εξής:

το δεξιο μέλος είναι

\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}}

Επειδή για a,b>0 είναι \sqrt{a}+\sqrt{b}> \sqrt{a+b}

προκύπτει άμεσα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης