Ανίσωση

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

$\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>\frac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}.$
*** Για μαθητές μέχρι αύριο βράδυ.

Ορέστης Λιγνός · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 12:04 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

$\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>\frac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}.$
*** Για μαθητές μέχρι αύριο βράδυ.

Προφανώς, $x \neq 0$ .

Αν x < 0

, τότε (περιορισμοί) πρέπει $x^2-\dfrac{1}{x^2} \geqslant 0 \Rightarrow x^4 \geqslant 1 \Rightarrow x \leqslant -1$ , αφού x<0

. Το δεύτερο υπόρριζο είναι προφανώς πάντα θετικό, ενώ για το τρίτο, παρατηρούμε ότι $x^4+|x|^3+|x|-1=x^4-x^3-x-1=(x^2+1)(x-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})$ , που είναι

για $x \leqslant -1$ .

Μοναδικός περιορισμός λοιπόν ο $x \leqslant -1$ .

Είναι $\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>0>\dfrac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}$ , οπότε η δοσμένη ανισότητα ισχύει για κάθε $x \leqslant -1$ .

Έστω τώρα x>0

, οπότε

και η δοσμένη γίνεται $\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}>\frac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x}$ (1).

Πρέπει (λόγω περιορισμών) $x^2-\dfrac{1}{x^2} \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 1$ . Τότε, ισχύουν επίσης $x+\dfrac{1}{x}>0$ και $\dfrac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x} \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{x}>0$ .

Παρατηρούμε ότι $\dfrac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x}=\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x}+1)}$ , οπότε η (1) γίνεται $\displaystyle \sqrt{(x-\dfrac{1}{x})(x+\dfrac{1}{x})}+\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}>\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x}+1)}$ οπότε απλοποιώντας με $x+\dfrac{1}{x} \neq 0$ έχουμε να λύσουμε την $\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+1>\sqrt{x-\dfrac{1}{x}+1}$ , με $x \geqslant 1$ .

Έστω $x-\dfrac{1}{x}=k^2$ , με $k \geqslant 0$ και έχουμε να λύσουμε την $k+1>\sqrt{k^2+1} \Leftrightarrow (k+1)^2>k^2+1 \Leftrightarrow k>0$ , που ισχύει για κάθε x > 1

, αλλά όχι για x=1

(αφού έχουμε $k=0 \Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=1$ )

Τελικά, οι λύσεις τις δοσμένης ανίσωσης, είναι $\boxed{x \in (- \infty, -1) \cup (1, + \infty)}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 1:44 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 12:04 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

$\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>\frac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}.$
*** Για μαθητές μέχρι αύριο βράδυ.
Προφανώς, $x \neq 0$ .

Αν , τότε (περιορισμοί) πρέπει $x^2-\dfrac{1}{x^2} \geqslant 0 \Rightarrow x^4 \geqslant 1 \Rightarrow x \leqslant -1$ , αφού . Το δεύτερο υπόρριζο είναι προφανώς πάντα θετικό, ενώ για το τρίτο, παρατηρούμε ότι $x^4+|x|^3+|x|-1=x^4-x^3-x-1=(x^2+1)(x-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})$ , που είναι για $x \leqslant -1$ .

Μοναδικός περιορισμός λοιπόν ο $x \leqslant -1$ .

Είναι $\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}>0>\dfrac{\sqrt{x^4+|x|^3+|x|-1}}{x}$ , οπότε η δοσμένη ανισότητα ισχύει για κάθε $x \leqslant -1$ .

Έστω τώρα , οπότε και η δοσμένη γίνεται $\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}>\frac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x}$ (1).

Πρέπει (λόγω περιορισμών) $x^2-\dfrac{1}{x^2} \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 1$ . Τότε, ισχύουν επίσης $x+\dfrac{1}{x}>0$ και $\dfrac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x} \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{x}>0$ .

Παρατηρούμε ότι $\dfrac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x}=\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x}+1)}$ , οπότε η (1) γίνεται $\displaystyle \sqrt{(x-\dfrac{1}{x})(x+\dfrac{1}{x})}+\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}>\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x}+1)}$ οπότε απλοποιώντας με $x+\dfrac{1}{x} \neq 0$ έχουμε να λύσουμε την $\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+1>\sqrt{x-\dfrac{1}{x}+1}$ , με $x \geqslant 1$ .

Έστω $x-\dfrac{1}{x}=k^2$ , με $k \geqslant 0$ και έχουμε να λύσουμε την $k+1>\sqrt{k^2+1} \Leftrightarrow (k+1)^2>k^2+1 \Leftrightarrow k>0$ , που ισχύει για κάθε , αλλά όχι για (αφού έχουμε $k=0 \Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=1$ )

Τελικά, οι λύσεις τις δοσμένης ανίσωσης, είναι $\boxed{x \in (- \infty, -1) \cup (1, + \infty)}$

Η ανισότητα

$\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}>\frac{\sqrt{x^4+x^3+x-1}}{x}$ (1).

μπορεί να δειχθεί και ως εξής:

το δεξιο μέλος είναι

$\displaystyle \sqrt{x^2-\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}}$

Επειδή για a,b>0

είναι $\sqrt{a}+\sqrt{b}> \sqrt{a+b}$

προκύπτει άμεσα.

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση