Γινόμενο 3 διαδοχικών αριθμών.

[Mihalis_Lambrou]

Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός έτσι ώστε ο να είναι γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών.

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές. Έχει αρκετά προσιτή λύση αλλά ομολογώ ότι όταν πρόσφατα μου έδωσαν την άσκηση, πήρα στην αρχή τον δύσκολο δρόμο. Την έλυσα μεν, αλλά με παραπάνω κόπο από το ζητούμενο. Αργότερα σκέφθηκα τον απλό τρόπο που ζητώ, που κάνει για μαθητές Γυμνασίου.

[Ορέστης Λιγνός]

Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός έτσι ώστε ο να είναι γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών.

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές. Έχει αρκετά προσιτή λύση αλλά ομολογώ ότι όταν πρόσφατα μου έδωσαν την άσκηση, πήρα στην αρχή τον δύσκολο δρόμο. Την έλυσα μεν, αλλά με παραπάνω κόπο από το ζητούμενο. Αργότερα σκέφθηκα τον απλό τρόπο που ζητώ, που κάνει για μαθητές Γυμνασίου.

Να υποθέσω ότι εδώ θεωρούμε ότι το δεν ανήκει στους φυσικούς, γιατί αν τότε προφανώς ο .
Έστω λοιπόν ότι το .

Έχουμε , και αν έχω ότι . Θα δείξω ότι αυτή η τιμή του είναι και η μικρότερη δυνατή. Προφανώς, όταν ελαχιστοποιείται ο , ελαχιστοποιείται και ο .

Αν λοιπόν , τότε έχω , άρα ή ή , και αφού , έχω ότι .

Εύκολα όμως βλέπω ότι καμία από τις παραπάνω τιμές δεν δίνει φυσικό, οπότε η ελάχιστη τιμή του είναι και του είναι .

[Demetres]

Αντί για τη μικρότερη τιμή του ισοδύναμα θα βρούμε τη μικρότερη τιμή του .

Ο ένας από τους τρεις φυσικούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του . Δεν γίνεται να είναι το διότι τότε κανένας από τους άλλους δύο δεν είναι πολλαπλάσιο του . Αναγκαστικά λοιπόν είναι με την ισότητα να λαμβάνεται για .