Τετράγωνο ακεραίου

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

petrosqw
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Φεβ 01, 2019 6:46 pm

Τετράγωνο ακεραίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petrosqw » Τετ Νοέμ 20, 2019 4:07 pm

Να βρείτε για ποιες τιμές του ακεραίου k ο αριθμός 4k^{2}+1 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Υ.Γ:Η άσκηση τοποθετήθηκε καταλάθος σε λάθος φάκελο
Όποιος μπορεί ας την βάλει στον σωστό(δεν ξέρω τον τρόπο)
τελευταία επεξεργασία από petrosqw σε Τετ Νοέμ 20, 2019 10:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τετράγωνο ακεραίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 20, 2019 5:10 pm

petrosqw έγραψε:
Τετ Νοέμ 20, 2019 4:07 pm
Να βρείτε για ποιες τιμές του k ο αριθμός 4k^{2}+1 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου

Υ.Γ:Η άσκηση τοποθετήθηκε καταλάθος σε λάθος φάκελο
Όποιος μπορεί ας την βάλει στον σωστό(δεν ξέρω τον τρόπο)
Νομίζω ότι είναι ο σωστός φάκελος.

Υποθέτω ότι το k είναι φυσικός (ή ακέραιος, δεν αλλάζει η ουσία).

Απάντηση: Μόνο για k=0.

Πράγματι, για k\ge 1 ισχύει (2k)^2 < 4k^2+1 < (2k+1)^2 (άμεσο). Άρα ο 4k^{2}+1 είναι ανέμεσα σε δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνα, και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο ακεραίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 20, 2019 5:38 pm

Οπωσδήποτε ο k είναι ακέραιος. Αυτό όμως πρέπει να διευκρινιστεί στην εκφώνηση. Αλλιώς, επαληθεύεται

για άπειρες τιμές του πραγματικού αριθμού k, π.χ \displaystyle  \pm \sqrt 2 , \pm \sqrt 6 , \pm \sqrt {20} , \pm \sqrt {30} ,... κλπ.


petrosqw
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Φεβ 01, 2019 6:46 pm

Re: Τετράγωνο ακεραίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petrosqw » Τετ Νοέμ 20, 2019 10:54 pm

Ας την δυσκολέψω λίγο:Να βρείτε για ποιες τιμές του ακεραίου k ο αριθμός 4k+1 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τετράγωνο ακεραίου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Νοέμ 20, 2019 11:01 pm

petrosqw έγραψε:
Τετ Νοέμ 20, 2019 10:54 pm
Ας την δυσκολέψω λίγο:Να βρείτε για ποιες τιμές του ακεραίου k ο αριθμός 4k+1 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου
Υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί αφού για κάθε m περιττό είναι m^2=4k+1 για κάποιο ακέραιο k.
π.χ
1^2=4*0+1
3^2=4*2+1
5^2=4*6+1 κλπ


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12124
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τετράγωνο ακεραίου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 20, 2019 11:07 pm

petrosqw έγραψε:
Τετ Νοέμ 20, 2019 10:54 pm
Ας την δυσκολέψω λίγο:Να βρείτε για ποιες τιμές του ακεραίου k ο αριθμός 4k+1 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου
Το 4k+1=n^2 ισοδυναμεί με k=\dfrac {n^2-1}{4} αρκεί να εξασφαλίσουμε ότι είναι ακέραιος. Για n άρτιος, σίγουρα δεν είναι ακέραιος (άμεσο), αλλά για n=2m+1 περιττός, είναι k=\dfrac {(2m+1)^2-1}{4}= m^2+m. Και λοιπά.

Edit: Με πρόλαβε ο Πρόδρομος στην πληκτρολόγηση. Το αφήνω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες