Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ

#1

Θεωρούμε τους αριθμούς : $\displaystyle{a=2^x .3^y }$ και $\displaystyle{b=3^x .5^y}$ , όπου $\displaystyle{x , y}$ είναι θετικοί ακέραιοι.

Να εξετάσετε αν υπάρχουν αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ ώστε να είναι $\displaystyle{[a , b] = (a , b) + 23}$

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 2:22 pm
Θεωρούμε τους αριθμούς : $\displaystyle{a=2^x .3^y }$ και $\displaystyle{b=3^x .5^y}$ , όπου $\displaystyle{x , y}$ είναι θετικοί ακέραιοι.

Να εξετάσετε αν υπάρχουν αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ ώστε να είναι $\displaystyle{[a , b] = (a , b) + 23}$

Εφόσον $x,\, y >0$ , έπεται ότι το

διαιρεί και τον

και τον

. Άρα το

διαιρεί τους [a , b]

και

(άμεσο από τον ορισμό τους). Οπότε η παραπάνω ισότητα είναι αδύνατη γιατί το

διαιρεί το [a , b] - (a , b)

αλλά όχι το ίσο του

.

Αν από περιέργεια θέλουμε να επεκτείνουμε λίγο το σύνολο αναφοράς των $x,\, y$ σε $\ge 0$ , πάλι στο ίδιο θα καταλήξουμε. Π.χ. αν x=0

, οι αριθμοί γίνονται $a=3^y,\, b=5^y$ και άρα η σχέση γίνεται $(3\cdot 5)^y=1+23$ που είναι βέβαια αδύνατη. Αν πάλι y=0

, τότε οι αριθμοί γίνονται $a=2^x,\, b=3^x$ και άρα η σχέση γίνεται $(2\cdot 3)^y=1+23$ , που είναι πάλι αδύνατη.

Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ

Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ

Re: Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ

Μέλη σε σύνδεση