Ταυτότητα υπό συνθήκη

#1

Έστω πραγματικοί αριθμοί a,b

τέτοιοι ώστε a^2+b^2=a^2b^2

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \frac{a^7}{(1-a)^2}-\frac{a^7}{(1+a)^2}=\frac{b^7}{(1-b)^2}-\frac{b^7}{(1+b)^2}.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 9:03 pm
Έστω πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \frac{a^7}{(1-a)^2}-\frac{a^7}{(1+a)^2}=\frac{b^7}{(1-b)^2}-\frac{b^7}{(1+b)^2}.$

Η δοθείσα γράφεται $b^2= \dfrac {a^2}{a^2-1}$ και επίσης $a^2= \dfrac {b^2}{b^2-1}$

To αριστερό μέλος ισούται

$\dfrac {a^7[(1+a)^2-(1-a)^2]} {[(a-1)(a+1)]^2}= \dfrac {4a^8}{(a^2-1)^2}$ , όμοια το δεξί. Τώρα συνεχίζουμε το αριστερό, που είναι

$= 4\left ( \dfrac {a^2} {a^2-1} \right ) ^2 a^4=4(b^2)^2 \left ( \dfrac {b^2} {b^2-1} \right ) ^2 = \dfrac {4b^8}{(b^2-1)^2}$ ίσον το δεξί.

#3

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 9:03 pm
Έστω πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \frac{a^7}{(1-a)^2}-\frac{a^7}{(1+a)^2}=\frac{b^7}{(1-b)^2}-\frac{b^7}{(1+b)^2}.$

.
Αλλιώς.

Η αποδεικτεα γράφεται $\dfrac {4a^8}{(a^2-1)^2}= \dfrac {4b^8}{(b^2-1)^2}$ (το είδαμε πριν).

Η υπόθεση γράφεται $\dfrac {1}{a^2} + \dfrac {1}{b^2}=1$ (εκτός αν

ή

είναι

αλλά τότε η αποδεικτέα είναι άμεση).

Οπότε για κάποιο $\theta$ στο πρώτο τεταρημόριο είναι $\dfrac {1}{a}= \pm \cos \theta,\, \dfrac {1}{b}= \pm \sin \theta$ .

Εύκολα λοιπόν $\dfrac {4a^8}{(a^2-1)^2}= \dfrac {4}{\cos ^4 \theta \sin ^4 \theta}=\dfrac {4b^8}{(b^2-1)^2}$ . Kαι λοιπά.

#4

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 9:03 pm
Έστω πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \frac{a^7}{(1-a)^2}-\frac{a^7}{(1+a)^2}=\frac{b^7}{(1-b)^2}-\frac{b^7}{(1+b)^2}.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Παρόμοια με την πρώτη του Μιχάλη.

Αν a=0

τότε και

και η αποδεικτέα ισχύει. Έστω $a,b\ne 0.$

Από την υπόθεση εύκολα διαπιστώνουμε ότι $a^2-1=\dfrac{a^2}{b^2}>0$ και ομοίως b^2-1>0.

Μετά τις πράξεις η αποδεικτέα σχέση γράφεται:

$\displaystyle \frac{{4{a^8}}}{{{{({a^2} - 1)}^2}}} = \frac{{4{b^8}}}{{{{({b^2} - 1)}^2}}} \Leftrightarrow \frac{{{a^4}}}{{{a^2} - 1}} = \frac{{{b^4}}}{{{b^2} - 1}} \Leftrightarrow {a^4}{b^2} - {a^4} - {a^2}{b^4} + {b^4} = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {a^2}{b^2}({a^2} - {b^2}) - ({a^2} - {b^2})({a^2} + {b^2}) = 0 \Leftrightarrow ({a^2} - {b^2})({a^2} + {b^2} - {a^2}{b^2}) = 0$ που ισχύει.

Ταυτότητα υπό συνθήκη

Ταυτότητα υπό συνθήκη

Re: Ταυτότητα υπό συνθήκη

Re: Ταυτότητα υπό συνθήκη

Re: Ταυτότητα υπό συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση