Τρεις δυνάμεις

#1

Βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς $a,\,b,\,c$ με $a\le b \le c$ και a^a+b^b+c^c=287

.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου.

Παναγιώτης Μουρούκος · #2

Έστω

μια λύση της εξίσωσης. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $c\ge5$ , τότε a^a + b^b + c^c > 5^5 > 287

, άτοπο, άρα $c\le4$ .

$\bullet$ Αν c=4

, τότε

, οπότε $b\le3$ .
Αν b=3

, τότε

και έχουμε τη λύση (a,b,c) = (2,3,4)

.
Αν $b\le2$ , τότε $a^a + b^b \le 2^2 + 2^2 = 8$ , άτοπο.

$\bullet$ Αν $c\le3$ , τότε $a^a + b^b + c^c\le 3\cdot3^3=81$ , άτοπο.

Ώστε, μοναδική λύση είναι η (a,b,c) = (2,3,4)

.

#3

Ωραία και υποδειγματική λύση.

Τρεις δυνάμεις

Τρεις δυνάμεις

Re: Τρεις δυνάμεις

Re: Τρεις δυνάμεις

Μέλη σε σύνδεση