Εικοσαπλάσιοι από το άθροισμα των ψηφίων τους

#1

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι είναι εικοσαπλάσιοι του αθροίσματος των ψηφίων τους.

Για παράδειγμα αντί για "εικοσαπλάσιοι" ζητούσα "τετραπλάσιοι", τότε ένα παράδειγμα είναι ο

αφού $12=4\times (1+2)$ .

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

Joaakim · #2

Έστω $\overline{a_{n} a_{n-1} ... a_{0}}$ ο αριθμός που ισούται με 20 φορές το άθροισμα των ψηφίων του.
Τότε $10^{n} a_{n}+...+a_{0}=20(a_{n}+...+a_{0})$ .
Προφανώς $n \geq 1$ . Αν n=1

, τότε $10a_{1}+a_{0}=20a_{1}+20a_{0} \Rightarrow 10 a_{1}+19a_{0}=0$ , άτοπο.
Αν n=2

, τότε $100a_{2}+10a_{1}+a_{0}=20a_{2}+20a_{1}+20a_{0} \Rightarrow 80a_{2}=10a_{1}+19a_{0}$ .
Τότε $10|19a_{0} \Rightarrow 10|a_{0} \Rightarrow a_{0}=0 \Rightarrow 80a_{2}=10a_{1} \Rightarrow a_{1}=8a_{2} \Rightarrow a_{1}=8, a_{2}=1$ , οπότε προκύπτει ο αριθμός 180

.
Έστω τώρα $n \geq 3$ . Τότε $20|10a_{1}+a_{0} \Rightarrow 10|a_{0} \Rightarrow a_{0}=0$ .
Έτσι $10^{n-1} a_{n}+...+a_{1}=2(a_{n}+...+a_{1})$ .
Παρατηρώ ότι $10^{n-1} a_{n} \geq 100a_{n}>2a_{n}+9 \geq 2a_{n}+a_{1}$ , αφού $a_{1} \leq 9$ .
Επίσης $10^{n-i}a_{n-i+1}>2a_{n-i+1}$ , για κάθε ακέραιο $2 \leq i \leq n-1$ , οπότε:
$2(a_{n}+...+a_{1}) >2a_n+a_1+2a_{n-1}+...+a_{1}=2(a_{n}+...+a_{1})$ , άτοπο.
Τελικά ο μοναδικός ζητούμενος αριθμός είναι ο 180

.

kfd · #3

#4

Joaakim έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 01, 2022 5:29 pm
Έστω $\overline{a_{n} a_{n-1} ... a_{0}}$ ο αριθμός που ισούται με 20 φορές το άθροισμα των ψηφίων του.
Τότε $10^{n} a_{n}+...+a_{0}=20(a_{n}+...+a_{0})$ .
Προφανώς $n \geq 1$ . Αν , τότε $10a_{1}+a_{0}=20a_{1}+20a_{0} \Rightarrow 10 a_{1}+19a_{0}=0$ , άτοπο.
Αν , τότε $100a_{2}+10a_{1}+a_{0}=20a_{2}+20a_{1}+20a_{0} \Rightarrow 80a_{2}=10a_{1}+19a_{0}$ .
Τότε $10|19a_{0} \Rightarrow 10|a_{0} \Rightarrow a_{0}=0 \Rightarrow 80a_{2}=10a_{1} \Rightarrow a_{1}=8a_{2} \Rightarrow a_{1}=8, a_{2}=1$ , οπότε προκύπτει ο αριθμός .
Έστω τώρα $n \geq 3$ . Τότε $20|10a_{1}+a_{0} \Rightarrow 10|a_{0} \Rightarrow a_{0}=0$ .
Έτσι $10^{n-1} a_{n}+...+a_{1}=2(a_{n}+...+a_{1})$ .
Παρατηρώ ότι $10^{n-1} a_{n} \geq 100a_{n}>2a_{n}+9 \geq 2a_{n}+a_{1}$ , αφού $a_{1} \leq 9$ .
Επίσης $10^{n-i}a_{n-i+1}>2a_{n-i+1}$ , για κάθε ακέραιο $2 \leq i \leq n-1$ , οπότε:
$2(a_{n}+...+a_{1}) >2a_n+a_1+2a_{n-1}+...+a_{1}=2(a_{n}+...+a_{1})$ , άτοπο.
Τελικά ο μοναδικός ζητούμενος αριθμός είναι ο .

#5

Και μία στον ίδιο κύκλο θεμάτων:

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι είναι κατά 666

μονάδες μεγαλύτεροι του αθροίσματος των ψηφίων τους.

(Αν δεν ξέχασα κανέναν, τους βγάζω δέκα).

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

Joaakim · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 07, 2022 11:30 am
Και μία στον ίδιο κύκλο θεμάτων:

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι είναι κατά μονάδες μεγαλύτεροι του αθροίσματος των ψηφίων τους.

(Αν δεν ξέχασα κανέναν, τους βγάζω δέκα).

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

Έστω $\overline {a_{n} ...a_{0}}$ ο αριθμός που είναι κατά 666

μονάδες μεγαλύτερος του αθροίσματος των ψηφίων του.
Τότε $10^{n}a_{n}+...+a_{0}=a_{n}+...+a_{0}+666 \Rightarrow (10^{n}-1)a_{n}+...+9a_{1}=666$ .
Αν $n \geq 3$ , τότε $LHS>(10^{n}-1)a_{n} \geq 10^{n}-1 \geq 999>666$ , άτοπο.
Αν n=1

, τότε $9a_{1}=666 \Rightarrow a_{1}=74>9$ , άτοπο.
Αν n=0

, τότε

, άτοπο.
Άρα n=2

, οπότε $99a_{2}+9a_{1}=666 \Rightarrow 11a_{2}+a_{1}=74$ .
Αν $a_{2} \geq 7$ , τότε LHS>77>74

, άτοπο.
Αν πάλι $a_{2} \leq 5$ , τότε $LHS \leq 55+9=64<74$ , άτοπο.
Συνεπώς $a_{2}=6$ , και $a_{1}=8$ , και έτσι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 680, 681, ..., 689

.

#7

Joaakim έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 07, 2022 12:42 pm
Έστω $\overline {a_{n} ...a_{0}}$ ο αριθμός που είναι κατά μονάδες μεγαλύτερος του αθροίσματος των ψηφίων του.
Τότε $10^{n}a_{n}+...+a_{0}=a_{n}+...+a_{0}+666 \Rightarrow (10^{n}-1)a_{n}+...+9a_{1}=666$ .
Αν $n \geq 3$ , τότε $LHS>(10^{n}-1)a_{n} \geq 10^{n}-1 \geq 999>666$ , άτοπο.
Αν , τότε $9a_{1}=666 \Rightarrow a_{1}=74>9$ , άτοπο.
Αν , τότε , άτοπο.
Άρα , οπότε $99a_{2}+9a_{1}=666 \Rightarrow 11a_{2}+a_{1}=74$ .
Αν $a_{2} \geq 7$ , τότε , άτοπο.
Αν πάλι $a_{2} \leq 5$ , τότε $LHS \leq 55+9=64<74$ , άτοπο.
Συνεπώς $a_{2}=6$ , και $a_{1}=8$ , και έτσι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι .

Εικοσαπλάσιοι από το άθροισμα των ψηφίων τους

Εικοσαπλάσιοι από το άθροισμα των ψηφίων τους

Re: Εικοσαπλάσιοι από το άθροισμα των ψηφίων τους

Re: Εικοσαπλάσιοι από το άθροισμα των ψηφίων τους

Re: Εικοσαπλάσιοι από το άθροισμα των ψηφίων τους

Re: Εικοσαπλάσιοι από το άθροισμα των ψηφίων τους

Re: Εικοσαπλάσιοι από το άθροισμα των ψηφίων τους

Re: Εικοσαπλάσιοι από το άθροισμα των ψηφίων τους

Μέλη σε σύνδεση