Οι μαθητές είναι καλύτεροι από εμάς

cool geometry · #1

Αν οι μονοψήφιοι αριθμοί a,b,c

είναι τέτοιοι ώστε $\overline{abc}\equiv 0(mod9)$ , να λύσετε την εξίσωση :
$\overline{cba}=1,75\cdot \overline{abc}$ .
Καλή επιτυχία!!

Maria-Eleni Nikolaou · #2

cool geometry έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 10, 2022 3:38 pm
Αν οι μονοψήφιοι αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε $\overline{abc}\equiv 0(mod9)$ , να λύσετε την εξίσωση :
$\overline{cba}=1,75\cdot \overline{abc}$ .
Καλή επιτυχία!!

Μιας και δεν απαντήθηκε από μικρότερους...

Είναι: $\overline{cba}=\dfrac{7}{4}\overline{abc}\Leftrightarrow 400c+40b+4a=700a+70b+7c\Leftrightarrow 131c=10b+232a$
Αφού το δεξί μέλος είναι άρτιος, το

είναι άρτιος. Επίσης, από την υπόθεση είναι a<c

και $\overline{abc}\equiv 0(mod\,36)$

$\bullet$ Για c=2

είναι

οπότε παίρνουμε $\overline{abc}=132\not\equiv 0(mod\,9)$

$\bullet$ Για c=4

έχουμε τη διοφαντική: $10b+232a=524\Leftrightarrow 5b+116a=262$

Επαληθεύεται για (a_0,b_0)=(2,6)

οπότε: $b=b_0+116t\Leftrightarrow b=6+116t$ και $a=a_0-5t\Leftrightarrow a=2-5t$ για κάποιο $t\in\mathbb{Z}$

Πρέπει a,b>0

οπότε: $2-5t>0\,\,\wedge\,\,6+116t>0\Leftrightarrow t=0$ που δίνει μοναδική λύση την αρχική.

Έτσι: $\overline{abc}=264\not\equiv 0(mod\,9)$

$\bullet$ Για c=6

έχουμε ομοίως διοφαντική: 5b+116a=393

που δίνει μοναδική λύση $\overline{abc}=396\equiv 0(mod\,36)$ δεκτή.

$\bullet$ Για c=8

δεν παίρνουμε δεκτές λύσεις.

Επομένως (a,b,c)=(3,9,6)

cool geometry · #3

Οι μαθητές είναι καλύτεροι από εμάς

Οι μαθητές είναι καλύτεροι από εμάς

Re: Οι μαθητές είναι καλύτεροι από εμάς

Re: Οι μαθητές είναι καλύτεροι από εμάς

Μέλη σε σύνδεση