Εξίσωση στους φυσικούς

cool geometry · #1

Να λύσετε στους φυσικούς αριθμούς την εξίσωση $6x^{y}-y^{2}=200.$

abfx · #2

Ελέγχουμε χωριστά τις περιπτώσεις x=0 , x=1

που μας δίνουν άτοπο. Θεωρούμε $x\geq 2$ .

Ισχυρισμός:
$\forall y \geq 6 , x\in\mathbb{N}(x\geq 2)$ ισχύει 6x^y-y^2>200

.

Απόδειξη
Το πάμε επαγωγικά στο

. Για

έχουμε:
$6x^6-36\geq 6\cdot 2^6-36=348>200$
Ας είναι k>6 ,

τέτοιο ώστε 6x^k-k^2>200

.Τότε:
$6x^{k+1}-(k+1)^2=(x-1)\cdot 6x^k-2k-1+6x^k-k^2\geq 6x^k-2k-1+6x^k-k^2>$
>200+k^2-2k-1+200=398+(k-1)^2>200

,που ολοκληρώνει το επαγωγικό μας βήμα.

Μένει τώρα να ελέγξουμε τις περιπτώσεις $y\leq 5$ .
Ο y^2=6x^y-200

είναι άρτιος οπότε και ο

.
Επομένως, ελέγχουμε y=0,y=2,y=4

που δίνουν όλες άτοπο, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη στους φυσικούς.

cool geometry · #3

Αν είσαι μαθητής, παίρνεις

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

cool geometry έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 11:42 am
Να λύσετε στους φυσικούς αριθμούς την εξίσωση $6x^{y}-y^{2}=200.$

Η άσκηση είναι απλούστατη τουλάχιστον για αυτό τον φάκελλο.
Η μόνη εξήγηση είναι ότι ο θεματοδότης επειδή είναι καινούργιος δεν έχει δει τι έχουν λύσει οι
μαθητές στο φόρουμ.
Βγαίνει πολύ εύκολα με διαιρετότητα σε τρεις γραμμές.
Αμεσα το

είναι άρτιος.
Αρα για y=2k

γίνεται $6x^{2k}=200+4k^2$
Αμεσα το

είναι άρτιος
Για x=2n

γίνεται $62^{2k}n^{2k}=200+4k^2$
δηλαδή
$62^{2(k-1)}n^{2k}=50+k^2$
Η τελευταία δίνει ότι το

είναι άρτιος οπότε το 4 πρέπει να διαιρεί το

ΑΤΟΠΟ

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 5:23 pm
Η μόνη εξήγηση είναι ότι ο θεματοδότης επειδή είναι καινούργιος δεν έχει δει τι έχουν λύσει οι
μαθητές στο φόρουμ.

Συμφωνώ απόλυτα.

Στο κάτω κάτω καλό είναι οι τίτλοι των θεμάτων να έχουν κάποια σχέση με το μαθηματικό περιεχόμενο των προβλημάτων. Τίτλοι όπως ο παραπάνω είναι και εκτός θέματος και παραπλανητικοί.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 6:17 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 5:23 pm
Η μόνη εξήγηση είναι ότι ο θεματοδότης επειδή είναι καινούργιος δεν έχει δει τι έχουν λύσει οι
μαθητές στο φόρουμ.

Συμφωνώ απόλυτα.

Στο κάτω κάτω καλό είναι οι τίτλοι των θεμάτων να έχουν κάποια σχέση με το μαθηματικό περιεχόμενο των προβλημάτων. Τίτλοι όπως ο παραπάνω είναι και εκτός θέματος και παραπλανητικοί.

Πράγματι, καλό θα είναι ο τίτλος να έχει σχέση με το μαθηματικό περιεχόμενο των θεμάτων. Έτσι, ο αρχικός τίτλος άλλαξε σε "Εξίσωση στους φυσικούς".

Φιλικά,

Αχιλλέας

Εξίσωση στους φυσικούς

Εξίσωση στους φυσικούς

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση