Ελάχιστος αριθμός

#1

Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο που λήγει σε

, είναι πολλαπλάσιο του

και έχει άθροισμα ψηφίων ίσο με

.

https://artofproblemsolving.com/communi ... 1p26187357

vgreco · #2

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 24, 2022 12:55 am
Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο που λήγει σε , είναι πολλαπλάσιο του και έχει άθροισμα ψηφίων ίσο με .

Ο μικρότερος αριθμός που τελειώνει σε

και έχει άθροισμα ψηφίων

είναι ο

. Όμως δε διαρείται με το

. Θα δοκιμάσω να ψάξω λοιπόν έναν

ψήφιο αριθμό. Έστω $\overline{abcde f56}$ ο αριθμός αυτός.

Για να διαρείται με το

, πρέπει να διαρείται και με το

και με το

.

$8 \mid \overline{abcde f56} \Leftrightarrow 8 \mid \overline{f56} \Leftrightarrow 8 \mid 100f \Leftrightarrow 2 \mid f$

$\displaystyle{7 \mid \overline{abcde f56} \Leftrightarrow 7 \mid \overline{abcde f} \Leftrightarrow 7 \mid 100a + 10b + c - 100d - 10e - f \Leftrightarrow 7 \mid 2a + 3b + c - 2d - 3e - f \quad (1)}$

όπου

. Τώρα:

αν , υποχρεωτικά και , όμως τότε δεν ικανοποιείται η , άτοπο.

αν , υποχρεωτικά και ένας εκ των , , , ισούται , οι δε υπόλοιποι με . Τότε:

$\displaystyle{ (1) \Rightarrow 7 \mid 3(b - e) + c - 2d - 4 }$ και με δοκιμές καταλήγω στη λύση .

Έτσι, ο ζητούμενος αριθμός είναι ο $\boxed{29899856}$ .

Ελάχιστος αριθμός

Ελάχιστος αριθμός

Re: Ελάχιστος αριθμός

Μέλη σε σύνδεση