Διπλά τηλεσκοπικό γινόμενο

#1

Να υπολογισθεί το γινόμενο

$\displaystyle{ \left (1 -\dfrac {1}{2^2} \right) \left (1 -\dfrac {1}{3^2} \right)\left (1 -\dfrac {1}{4^2} \right)\cdot ... \cdot \left (1 -\dfrac {1}{N^2} \right)}$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Γυμνασίου.

Δεν αμφιβάλλω ότι είναι αρκετά γνωστό θέμα, αλλά δεν βλάπτει μία επανάληψή του για να τo δουν όσοι δεν το γνωρίζουν.

#2

Ανοικτή σε όλους.

Tolaso J Kos · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 11, 2022 10:45 pm
Να υπολογισθεί το γινόμενο

$\displaystyle{ \left (1 -\dfrac {1}{2^2} \right) \left (1 -\dfrac {1}{3^2} \right)\left (1 -\dfrac {1}{4^2} \right)\cdot ... \cdot \left (1 -\dfrac {1}{N^2} \right)}$

Γεια σου Μιχάλη,

παρατηρούμε ότι το γινόμενο είναι τηλεσκοπικό καθώς

$\displaystyle{1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2-1}{n^2} = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} }$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \prod_{n=2}^{N} \left ( 1 - \frac{1}{n^2} \right ) &= \prod_{n=2}^{N} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \\ &= \prod_{n=2}^{N} \frac{n-1}{n} \prod_{n=2}^{N} \frac{n+1}{n} \\ &=\frac{1}{N} \cdot \frac{N+1}{2} \end{aligned}}$

Διπλά τηλεσκοπικό γινόμενο

Διπλά τηλεσκοπικό γινόμενο

Re: Διπλά τηλεσκοπικό γινόμενο

Re: Διπλά τηλεσκοπικό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση