Ισότητα από ισότητες

#1

Να αποδείξετε ότι αν οι πραγματικοί αριθμοί $a,\,b$ ικανοποιούν

$a^{10} +b^{10} = a+b$ και $a^{20} +b^{20} = a^2+b^2$

τότε θα ικανοποιούν και την $a^{30} +b^{30} = a^3+b^3$

#2

Έστω $\displaystyle{ab\neq 0}$

Είναι: $\displaystyle{a^{10} + b^{10}=a+b\Rightarrow (a^{10}+b^{10})^2 =(a+b)^2 \Rightarrow a^{20}+b^{20}+2a^{10}b^{10}=a^2 +b^2 +2ab\Rightarrow}$

$\displaystyle{a^2 +b^2 +2a^{10}b^{10}=a^2 +b^2 +2ab\Rightarrow a^9 b^9 =1}$ , (1)

Επίσης έχουμε:

$\displaystyle{a^{10}+b^{10}=a+b\Rightarrow (a^{10}+b^{10})^3 = (a+b)^3 \Rightarrow a^{30}+b^{30}+3a^{10}b^{10}(a^{10}+b^{10})=a^3 +b^3 +3ab(a+b)\Rightarrow}$

$\displaystyle{a^{30}+b^{30} +3a^{10}b^{10}.(a+b)=a^3 +b^3 +3ab(a+b)\Rightarrow a^{30}+b^{30}+3ab.a^9 .b^9 (a+b)=a^3 +b^3 +3ab(a+b)}$

Με δεδομένη την σχέση (1) παίρνουμε:

$\displaystyle{a^{30}+b^{30}+3ab(a+b)=a^3 +b^3 +3ab(a+b)\Rightarrow a^{30}+b^{30}=a^3 +b^3}$

Αν τώρα είναι $\displaystyle{a=0}$ τότε έχομε $\displaystyle{b^{10}=b}$ και άρα $\displaystyle{b=0}$ ή $\displaystyle{b=1}$ .

Αν $\displaystyle{a=b=0}$ τότε το ζητούμενο έπεται αμέσως.

Αν $\displaystyle{a=0 , b=1}$ τότε και πάλι το ζητούμενο έπεται αμέσως.

Ομοίως αν ήταν $\displaystyle{b=0}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Πρόσθεσα και την περίπτωση να είναι $\displaystyle{ab=0}$

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 25, 2022 9:51 pm
Να αποδείξετε ότι αν οι πραγματικοί αριθμοί $a,\,b$ ικανοποιούν

$a^{10} +b^{10} = a+b$ και $a^{20} +b^{20} = a^2+b^2$

τότε θα ικανοποιούν και την $a^{30} +b^{30} = a^3+b^3$

Απειροελάχιστη παραλλαγή.

Αν a=0

(όμοια αν

) η πρώτη δίνει $b^{10}=b$ , οπότε b=0

ή

, και το αποδεικτέο άμεσο. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a\ne 0 \ne b$

Από τις δύο πρώτες σχέσεις βγάζουμε, όπως στην λύση του Δημήτρη, ότι a^9b^9=1

, οπότε

(μην ξεχνάμε ότι αποκλίσαμε το ab=0

). Άρα $b = \dfrac {1}{a}$ , οπότε η πρώτη σχέση γράφεται

$\displaystyle{a^{10} -a = b-b^{10} = \dfrac {1}{a} -\dfrac {1}{a^{10}} = \dfrac {a^{10} -a}{a^{11}} }$ . Άρα είτε $a^{10}=a$ ή $a^{11}=1$ . Και τα δύο δίνουν a=1

, οπότε τελικά a=b=1

, και το ζητούμενο είναι άμεσο.

Με λίγα λόγια, οι δύο αρχικές σχέσεις δίνουν ότι τα $a,\,b$ είναι

ή

, οπότε έπεται όχι μόνο η τρίτη σχέση αλλά πάμπολλες άλλες όπως $a^{2022}+b^{2022} = a^{147}+b^{192}$

Ισότητα από ισότητες

Ισότητα από ισότητες

Re: Ισότητα από ισότητες

Re: Ισότητα από ισότητες

Μέλη σε σύνδεση