Δύο μηχανές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Δύο μηχανές
Έχουμε δύο κλωσσομηχανές και που η κάθε μία χωράει το πολύ αυγά πάπιας.
Βάλαμε μερικά αυγά στις δύο μηχανές και μετά από ένα μήνα περίπου, βγήκαν αρκετά παπάκια.
Παρατηρήσαμε ότι ο συνολικός αριθμός των παπιών έχει όλα τα ψηφία του ίδια.
Παρατηρήσαμε επίσης ότι αν πάρουμε τα μισά παπάκια από την μηχανή και από την , θα είναι τόσα, όσα
αν πάρουμε το από την και από την .
Πόσα το πολύ παπάκια βγήκαν από την και πόσα από την ;
Βάλαμε μερικά αυγά στις δύο μηχανές και μετά από ένα μήνα περίπου, βγήκαν αρκετά παπάκια.
Παρατηρήσαμε ότι ο συνολικός αριθμός των παπιών έχει όλα τα ψηφία του ίδια.
Παρατηρήσαμε επίσης ότι αν πάρουμε τα μισά παπάκια από την μηχανή και από την , θα είναι τόσα, όσα
αν πάρουμε το από την και από την .
Πόσα το πολύ παπάκια βγήκαν από την και πόσα από την ;
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Δύο μηχανές
Γειά χαρά συνάδελφε, ωραίο!!ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Παρ Ιουν 16, 2023 8:11 pmΈχουμε δύο κλωσσομηχανές και που η κάθε μία χωράει το πολύ αυγά πάπιας.
Βάλαμε μερικά αυγά στις δύο μηχανές και μετά από ένα μήνα περίπου, βγήκαν αρκετά παπάκια.
Παρατηρήσαμε ότι ο συνολικός αριθμός των παπιών έχει όλα τα ψηφία του ίδια.
Παρατηρήσαμε επίσης ότι αν πάρουμε τα μισά παπάκια από την μηχανή και από την , θα είναι τόσα, όσα
αν πάρουμε το από την και από την .
Πόσα το πολύ παπάκια βγήκαν από την και πόσα από την ;
Από το τελευταίο δεδομένο προκύπτει . Έστω
Θα πρέπει το να λήγει σε εξετάζουμε για έχουμε και
Αυτές θα είναι και οι μέγιστες ζητούμενες τιμές.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Δύο μηχανές
Γράφω και μια αναλυτική λύση:
Ας υποθέσουμε ότι από την μηχανή βγήκαν παπάκια και από την βγήκαν .
Με βάση το πρόβλημα, έχουμε και άρα
Επίσης με βάση το πρόβλημα έχουμε :
.
Αφού όμως οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι, θα πρέπει , με θετικό ακέραιο.
Άρα θα έχουμε οπότε
Αφού , συμπεραίνουμε ότι θα είναι το πολύ τριψήφιος και αφού θέλουμε να βρούμε την μέγιστη τιμή
του , θα εξετάσουμε αν μπορεί να είναι τριψήφιος. Με δεδομένο ότι θέλουμε να έχει όλα του τα ψηφία ίδια,
θα πρέπει να έχει την μορφή , δηλαδή , όπου και άρα:
.
Επειδή ο είναι θετικός ακέραιος, θα πρέπει ο αριθμός να είναι ακέραιος. Και αφού
, θα πρέπει . Άρα και
Άρα ο μέγιστος αριθμός παπιών που μπορούσαν να επωαστούν από τις δύο μηχανές είναι
Και αφού θα έχουμε , που είναι και ο μέγιστος αριθμός παπιών που
μπορούν να βγουν από τις μηχανές και αντιστοίχως.
Ας υποθέσουμε ότι από την μηχανή βγήκαν παπάκια και από την βγήκαν .
Με βάση το πρόβλημα, έχουμε και άρα
Επίσης με βάση το πρόβλημα έχουμε :
.
Αφού όμως οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι, θα πρέπει , με θετικό ακέραιο.
Άρα θα έχουμε οπότε
Αφού , συμπεραίνουμε ότι θα είναι το πολύ τριψήφιος και αφού θέλουμε να βρούμε την μέγιστη τιμή
του , θα εξετάσουμε αν μπορεί να είναι τριψήφιος. Με δεδομένο ότι θέλουμε να έχει όλα του τα ψηφία ίδια,
θα πρέπει να έχει την μορφή , δηλαδή , όπου και άρα:
.
Επειδή ο είναι θετικός ακέραιος, θα πρέπει ο αριθμός να είναι ακέραιος. Και αφού
, θα πρέπει . Άρα και
Άρα ο μέγιστος αριθμός παπιών που μπορούσαν να επωαστούν από τις δύο μηχανές είναι
Και αφού θα έχουμε , που είναι και ο μέγιστος αριθμός παπιών που
μπορούν να βγουν από τις μηχανές και αντιστοίχως.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης