Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Fotis34 · #1

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(a,b)}$ με $\displaystyle{a,b}$ θετικούς ακέραιους, που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{gcd(a,b)+lcm(a,b)=17.}$

Σημείωση: Με $\displaystyle{gcd}$ συμβολίζουμε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη. Με $\displaystyle{lcm}$ συμβολίζουμε το Ελάχιστο Κοινό πολλαπλάσιο.

Υγ. Εγώ την κατασκεύασα. Έχω λύση, αλλά δεν ξέρω αν ξεφεύγει λίγο από το επίπεδο.

Fotis32 · #2

Για να έχουν

θετικοί ακέραιοι άθροισμα

υπάρχουν

τρόποι
$1+2^{4}$
$2+3\cdot5$

$2^{3}+3^{2}$
Ας πάρουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.
Περ.

.
$1+2^{4}=17$
Εδώ προφανώς $\alpha=1$ και $\beta=16$ ή και το ανάποδο.
Παρατηρούμε πως αυτή είναι και η μοναδική λύση καθώς όταν γράφονται οι προσθετέοι σε κανονική μορφή (όπως παραπάνω) δεν έχουμε κανένα κοινό πρώτο παράγοντα ανάμεσά τους.

Fotis34 · #3

Fotis32 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 13, 2026 9:32 pm
Για να έχουν θετικοί ακέραιοι άθροισμα υπάρχουν τρόποι
$1+2^{4}$
$2+3\cdot5$

$2^{3}+3^{2}$
Ας πάρουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.
Περ. .
$1+2^{4}=17$
Εδώ προφανώς $\alpha=1$ και $\beta=16$ ή και το ανάποδο.
Παρατηρούμε πως αυτή είναι και η μοναδική λύση καθώς όταν γράφονται οι προσθετέοι σε κανονική μορφή (όπως παραπάνω) δεν έχουμε κανένα κοινό πρώτο παράγοντα, (οπότε δεν θα μπορούσε το να ειναι μεγαλύτερο του 1)

Δεν θεωρώ ότι αυτή η λύση είναι πλήρης. Για να είμαι ειλικρινής, απέχει αρκετά από μία πλήρη και αυστηρή αιτιολόγηση.

Fotis32 · #4

Σκέφτηκα για να το γράψω πιο απλά να το κάνω ως άθροισμα

θετικών ακέραιων από gcd

και

δυο αριθμών. Όμως αυτά πρεπει να εχουν κάτι κοινο, όπως γράφω και παραπάνω , που δεν έχουν. Επίσης αφου το άθροισμα ειναι

γιατί να μην είναι το gcd(a,b)

μικρότερο ή ίσο του

;

Fotis34 · #5

Fotis32 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 13, 2026 10:08 pm
Σκέφτηκα για να το γράψω πιο απλά να το κάνω ως άθροισμα θετικών ακέραιων από και δυο αριθμών. Όμως αυτά πρεπει να εχουν κάτι κοινο, όπως γράφω και παραπάνω , που δεν έχουν. Επίσης αφου το άθροισμα ειναι γιατί να μην είναι το μικρότερο ή ίσο του ;

Συγχώρεσέ με για το προηγούμενο, από την κούραση, δεν κατανόηση σωστά.

Όμως, υπάρχουν $\displaystyle{16}$ τρόποι, αν για παράδειγμα ήταν σε διαγωνισμό θα έπρεπε να γράψεις όλες τις περιπτώσεις που δίνουν άτοπο.

Fotis32 · #6

Α ναι συγγνώμη γι΄αυτό, νόμιζα πως μπορούσα να τα αποκλείσω όλα με τη μια. Ευχαριστώ για την διόρθωση. Θα μπορούσες να στείλεις και την λύση σου;

Fotis34 · #7

Fotis34 έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 13, 2026 7:06 pm
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(a,b)}$ με $\displaystyle{a,b}$ θετικούς ακέραιους, που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{gcd(a,b)+lcm(a,b)=17.}$

Σημείωση: Με $\displaystyle{gcd}$ συμβολίζουμε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη. Με $\displaystyle{lcm}$ συμβολίζουμε το Ελάχιστο Κοινό πολλαπλάσιο.

Υγ. Εγώ την κατασκεύασα. Έχω λύση, αλλά δεν ξέρω αν ξεφεύγει λίγο από το επίπεδο.

Η δικιά μου λύση:

Έστω $g = \gcd(a,b)$ . Τότε υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y

με $\gcd(x,y)=1$ ώστε
$\displaystyle a = g x, \quad b = g y.$

Λήμμα: γνωρίζουμε τη βασική σχέση:
$\displaystyle{gcd(a,b) \cdot lcm(a,b)= a\cdot b}$

Με αντικατάσταση, η εξίσωση γίνεται:

$\displaystyle{g + g x y = g(1 + x y) = 17.}$

Το $\displaystyle{17}$ είναι πρώτος αριθμός, οπότε οι μόνοι θετικοί παράγοντές του είναι
$\displaystyle 17 = 1 \cdot 17 \quad , \quad 17 = 17 \cdot 1.$

Περίπτωση 1: g = 1

Τότε
$\displaystyle 1 + x y = 17 \implies x y = 16.$

Τα ζεύγη θετικών ακεραίων x,y

με

είναι:
$\displaystyle (1,16), (2,8), (4,4), (8,2), (16,1).$

Μόνο τα ζεύγη με $\gcd(x,y)=1$ είναι αποδεκτά:
$\displaystyle (1,16), (16,1).$

Άρα τα αντίστοιχα ζεύγη (a,b)

είναι:
$\displaystyle (a,b) = (1,16), \quad (a,b) = (16,1).$

Περίπτωση 2: g = 17

Τότε
$\displaystyle 17(1 + x y) = 17 \implies 1 + x y = 1 \implies x y = 0,$
που είναι αδύνατο για θετικούς ακέραιους $x,y \ge 1$ . Άρα δεν υπάρχει λύση.

Τα μοναδικά ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση είναι
$\displaystyle \boxed{(1,16) , (16,1)}.$

Fotis32 · #8

Διαγραφή.

Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Re: Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Re: Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Re: Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Re: Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Re: Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Re: Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Re: Μία εξίσωση με ΜΚΔ και ΕΚΠ

Μέλη σε σύνδεση